Question

（1998•天津）已知拋物線y=mx2-(3m+

4

3

)x+4與x軸交于兩點(diǎn)A、B，與y軸交于C點(diǎn)，若△ABC是等腰三角形，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：把y=0代入解析式中求出方程的兩個(gè)根x₁、x₂，x₁、x₂就是A、B兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，它們的縱坐標(biāo)都等于0，即A（x₁，0），B（x₂，0），所以AB=|x₁-x₂|，然后再求出C（0，4），由此可以求出AC，BC，由三角形ABC是等腰三角形可得：AC=AB或BC=AB或AC=BC，根據(jù)三種不同的情況列出三個(gè)不同的方程，分別求出m的值，然后再代入解析式中即可．

解答：解：y=mx2-(3m+

4

3

)x+4=（mx-

4

3

）（x-3），
設(shè)y=0，則x1=

4

3m

，x2=3，
∴A（

4

3m

，0），B（3，0），
設(shè)x=0，則y=4，
∴C（0，4），
①若AC=BC
因?yàn)镃O垂直BC，所以他也是底邊中線
所以 AO=BO=3
A（-3，0）

4

3m

=-3
∴m=-

4

9

；
②若BC=AB
由勾股定理得：BC=5，
∴AB=|3-

4

3m

|=5
∴m=-

2

3

，m=

1

6

；
③若AC=AB
則AC=

AO2+OC2

，
∴AB=|3-

4

3m

|=

AO2+OC2

∴m=-

8

7

；
∴m=-

4

9

，-

2

3

，

1

2

，-

8

7

∴y=-

4

9

x²+4或y=-

2

3

x²+

2

3

x+4或y=

1

2

x²-

6

17

x+4或y=-

8

7

x²-

44

21

x+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不小．