(2009•北京)已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分線,BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過B,M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,F(xiàn)B恰為⊙O的直徑.
(1)求證:AE與⊙O相切;
(2)當(dāng)BC=4,cosC=時(shí),求⊙O的半徑.

【答案】分析:(1)連接OM,證明OM∥BE,再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)說明AE⊥BE,進(jìn)而證明OM⊥AE;
(2)結(jié)合已知求出AB,再證明△AOM∽△ABE,利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算.
解答:(1)證明:連接OM,則OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中,AB=AC,AE是角平分線
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵點(diǎn)M在圓O上,
∴AE與⊙O相切;

(2)解:在△ABC中,AB=AC,AE是角平分線
∴BE=BC,∠ABC=∠C
∵BC=4,cosC=
∴BE=2,cos∠ABC=
在△ABE中,∠AEB=90°
∴AB==6
設(shè)⊙O的半徑為r,則AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE


解得
∴⊙O的半徑為
點(diǎn)評(píng):本題是小綜合題,考查等腰三角形,平行線,角平分線,直線和圓的位置關(guān)系,相似三角形等知識(shí)點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2009•北京)已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有實(shí)數(shù)根,k為正整數(shù).
(1)求k的值;
(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí),將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x2+4x+k-1的圖象向下平移8個(gè)單位,求平移后的圖象的解析式;
(3)在(2)的條件下,將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象的其余部分保持不變,得到一個(gè)新的圖象.請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答:當(dāng)直線y=x+b(b<k)與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),b的取值范圍.

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(2009•北京)已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有實(shí)數(shù)根,k為正整數(shù).
(1)求k的值;
(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí),將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x2+4x+k-1的圖象向下平移8個(gè)單位,求平移后的圖象的解析式;
(3)在(2)的條件下,將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象的其余部分保持不變,得到一個(gè)新的圖象.請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答:當(dāng)直線y=x+b(b<k)與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),b的取值范圍.

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(2009•北京)已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有實(shí)數(shù)根,k為正整數(shù).
(1)求k的值;
(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí),將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x2+4x+k-1的圖象向下平移8個(gè)單位,求平移后的圖象的解析式;
(3)在(2)的條件下,將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象的其余部分保持不變,得到一個(gè)新的圖象.請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答:當(dāng)直線y=x+b(b<k)與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),b的取值范圍.

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(2009•北京)已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有實(shí)數(shù)根,k為正整數(shù).
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(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí),將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x2+4x+k-1的圖象向下平移8個(gè)單位,求平移后的圖象的解析式;
(3)在(2)的條件下,將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象的其余部分保持不變,得到一個(gè)新的圖象.請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答:當(dāng)直線y=x+b(b<k)與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),b的取值范圍.

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(2009•北京)已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有實(shí)數(shù)根,k為正整數(shù).
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(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí),將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x2+4x+k-1的圖象向下平移8個(gè)單位,求平移后的圖象的解析式;
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