Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，BC=4，AC=8，Rt△ABC的斜邊在x軸的正半軸上，點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，隨著頂點(diǎn)A由O點(diǎn)出發(fā)沿y軸的正半軸方向滑動(dòng)，點(diǎn)B也沿著x軸向點(diǎn)O滑動(dòng)，直到與點(diǎn)O重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束．在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中．

（1）AB中點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)_____．

（2）點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是_____．

Answer 1

【答案】 π 8﹣12

【解析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，確定中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑：以O為圓心，以OP為半徑的圓弧，半徑OP=AB=2，代入周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；

（2）分為兩種情況：

①當(dāng)A從O到現(xiàn)在的點(diǎn)A處時(shí)，如圖2，此時(shí)C′A⊥y軸，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是CC′的長(zhǎng)；

②當(dāng)A再繼續(xù)向上移動(dòng)，直到點(diǎn)B與O重合時(shí)，如圖3，此時(shí)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑是從C′到C，長(zhǎng)是CC′；

分別計(jì)算并相加．

（1）如圖1．

∵∠AOB=90°，P為AB的中點(diǎn)，∴OP=AB．

∵AB=4，∴OP=2，∴AB中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡是以O為圓心，以OP為半徑的圓弧，即AB中點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)=×2×2π=π；

（2）①當(dāng)A從O到現(xiàn)在的點(diǎn)A處時(shí)，如圖2，此時(shí)C′A⊥y軸，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是CC′的長(zhǎng)，∴AC′=OC=8．

∵AC′∥OB，∴∠AC′O=∠COB，∴cos∠AC′O=cos∠COB===，∴OC′=4，∴CC′=4﹣8；

②當(dāng)A再繼續(xù)向上移動(dòng)，直到點(diǎn)B與O重合時(shí)，span>如圖3，此時(shí)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑是從C′到C，長(zhǎng)是CC′，CC′=OC′﹣BC=4﹣4．

綜上所述：點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是：4﹣8+4﹣4=8﹣12；

故答案為：（1）π； （2）8﹣12．