Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=，△DCE是等邊三角形，DE交AB于點F，求△BEF的周長．

Answer 1

【答案】分析：方法一：過點E作EG⊥CB，交CB的延長線于點G，利用題干條件求出EF、FB和EB長度，進而求△BEF的周長；
方法二：過點E作EH⊥CD交CD于點H，交AB于點G，利用矩形性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識結(jié)合題干條件求出EF、FB和EB長度，進而求△BEF的周長；
方法三：過點B作BG⊥CE，交CE于點G，利用矩形的知識、解直角三角形和三角函數(shù)等知識結(jié)合題干條件求出EF、FB和EB長度，進而求△BEF的周長．
解答：解：解法一：
∵矩形ABCD，△DCE是等邊三角形，
∴∠ADF=∠ECB=30°，ED=EC=3，
在Rt△ADF中，∠A=90°，AD=，
∴tan∠ADF=，
tan30°==，
∴AF=1，
∴FB=AB-AF=3-1=2，F(xiàn)D=2，；
∴EF=ED-DF=3-2=1，；
過點E作EG⊥CB，交CB的延長線于點G；
在Rt△ECG中，∠EGC=90°，EC=3，∠ECG=30°，
∴EG=EC=，cos∠ECG=，
cos30°==，
∴GC=，
∴GB=CG-BC=-=，
由勾股定理得，EB²=EG²+GB²，
∴EB=（舍去負值）；
∴△BEF的周長=EF+FB+EB=3+．

解法二：∵矩形ABCD，△DCE是等邊三角形，
∴∠EDC=∠ECD=60°，ED=EC=3，
過點E作EH⊥CD交CD于點H，交AB于點G；
∴點H是DC的中點，點G是AB的中點，∠FEG=30°，GH=AD=，
在Rt△EHD中，∠EHD=90°，ED=3，
∴sin∠EDH=，
sin60°==，
∴EH=，
∴EG=EH-GH=-=．
在Rt△EGF中，∠EGF=90°，∠EFG=60°，
∴sin∠EFG=，
sin60°==，
∴EF=1；
∴FG=EF=，
∵點G是AB的中點，AB=3，
∴GB=AB=，
∴FB=FG+GB=2，
由勾股定理得，EB²=EG²+GB²，
∴EB=（舍去負值），
∴△BEF的周長=EF+FB+EB=3+．

解法三：∵矩形ABCD，△DCE是等邊三角形，
∴∠ADF=∠ECB=30°，ED=EC=3，
在Rt△ADF中，∠A=90°，AD=，
∴tan∠ADF=，
tan30°==，
∴AF=1，
∴FB=AB-AF=3-1=2，F(xiàn)D=2，
∴EF=ED-DF=3-2=1，
過點B作BG⊥CE，交CE于點G．
在Rt△BCG中，∠BGC=90°，BC=，∠ECB=30°，
∴BG=BC=，cos∠BCG=，
cos30°==，
∴GC=，
∴GE=EC-GC=3-=，
由勾股定理得，EB²=EG²+GB²，或BG是線段EC的垂直平分線，
∴EB=（舍去負值）或BE=BC，
∴△BEF的周長=EF+FB+EB=3+．
點評：本題主要考查矩形性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形的知識點，此題難度不大，本題的解答有三種解答方法，同學們根據(jù)自己實際情況選擇自己喜歡的方法進行解答即可．