Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O過(guò)BC的中點(diǎn)D，且DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠C=30°，CE=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：
證法一：連接OD
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)
∴OD為△ABC的中位線
∴OD∥AC
∴∠DEC=∠ODE
∵DE⊥AC
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切線
證法二：連接OD，AD
∵AB為直徑
∴∠BDA=90°，∠CDA=90°
∵∠C=30°
∴∠CAD=60°
∵DE⊥AC
∴∠AED=90°
∴∠ADE=30°
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD=60°
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=60°
∴∠ODE=90°
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：
解法一：連接AD
∵AB為直徑
∴∠BDA=90°
∵DE⊥AC
∴∠CED=90°
在Rt△CED中，cos∠C=，cos30°=，CD=10
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)
∴BD=CD=10
∴AC=AB
∴∠B=∠C=30°
在Rt△ABD中．cos∠B=，cos∠30°=，AB=
∴⊙O的半徑為
解法二：連接AD，過(guò)O點(diǎn)作OF⊥BD，垂足為F
∵AB為直徑
∴∠BDA=90°
∵D是BC的中點(diǎn)
∴BD=CD
∴AC=AB
∴∠B=∠C=30°
在Rt△CED中，cos∠C=，cos30°=，CD=10
∴DB=CD=10，∴BF=5
在Rt△BFO中，cos∠B=，cos30°=，OB=
即⊙O的半徑為．
分析：（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或平行線的性質(zhì)易得OD⊥DE，故DE與⊙O相切；
（2）本題方法較多，需分析圖形，通過(guò)相似三角形的性質(zhì)或三角函數(shù)的定義求出AB或圓的半徑的值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．