Question

（2011•鄂爾多斯）在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=2AB，點(diǎn)E、F分別是OA、BC的中點(diǎn)．連接BE、EF．

（1）求證：EF=BF；
（2）在上述條件下，若AC=BD，G是BD上一點(diǎn)，且BG：GD=3：1，連接EG、FG，試判斷四邊形EBFG的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出BD=2BO，推出AB=BO，根據(jù)三線合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出EF=BF=CF即可；
（2）根據(jù)矩形性質(zhì)和已知求出G為OD中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線求出EG∥AD，EG=

1

2

BC，求出EG∥BC，EG=

1

2

BC，求出BF=EG，BF∥EG，EG=GF，得出平行四邊形，根據(jù)菱形的判定推出即可．

解答：（1）證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BD=2BO，
∵BD=2AB，
∴AB=BO，
∵E為OA中點(diǎn)，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∵F為BC中點(diǎn)，
∴EF=BF=CF，
即EF=BF；

（2）四邊形EBFG是菱形，
證明：連接CG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，BD=2BO=2OD，
∴BD=2AB=2CD，
∴OC=CD，
∵BG：GD=3：1，OB=OD，
∴G為OD中點(diǎn)，
∴CG⊥OD（三線合一定理），
即∠CGB=90°，
∵F為BC中點(diǎn)，
∴GF=

1

2

BC=

1

2

AD，
∵E為OA中點(diǎn)，G為OD中點(diǎn)，
∴EG∥AD，EG=

1

2

AD，
∴EG∥BC，EG=

1

2

BC，
∵F為BC中點(diǎn)，
∴BF=

1

2

BC，EG=GF，
即EG∥BF，EG=BF，
∴四邊形EBFG是平行四邊形，
∵EG=GF，
∴平行四邊形EBFG是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形性質(zhì)，菱形性質(zhì)，三角形的中位線，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，注意：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半．