Question

（2013•閘北區(qū)二模）已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，

AF

FB

=

BD

DC

=

AE

EC

：
（1）若BE平分∠ABC，試說明四邊形DBFE的形狀，并加以證明；
（2）若點(diǎn)G為△ABC的重心，且△BCG與△EFG的面積之和為20，求△BCG的面積．

Answer 1

分析：（1）由△ABC中，

AF

FB

=

BD

DC

=

AE

EC

，可得FE∥BC，DE∥AB，即可判定四邊形DBFE是平行四邊形，又由BE平分∠ABC，可證得BF=EF，即可判定四邊形DBFE是菱形；
（2）由FE∥BC，可得△EFG∽△BCG，又由相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得

S△EFG

S△BCG

=（

FG

GC

）²，然后由點(diǎn)G為△ABC的重心，可得FG：GC=1：2，可得S_△BCG=4S_△EFG．又由△BCG與△EFG的面積之和為20，即可求得答案．

解答：解：（1）四邊形DBFE是菱形．…（1分）
證明：∵△ABC中，

AF

FB

=

BD

DC

=

AE

EC

，
∴FE∥BC，DE∥AB，…（2分）
∴四邊形DBFE是平行四邊形，…（1分）
又∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠DBE，
∵FE∥BC，
∴∠FEB=∠DBE，…（1分）
∴∠FBE=∠FEB，…（1分）
∴BF=EF，…（1分）
∴四邊形DBFE是菱形；

（2）∵FE∥BC，
∴△EFG∽△BCG，…（1分）
∴

S△EFG

S△BCG

=（

FG

GC

）²，…（1分）
∵點(diǎn)G為△ABC的重心，
∴

FG

GC

=

1

2

，…（1分）
∴

S△EFG

S△BCG

=（

1

2

）²=

1

4

，
∴S_△BCG=4S_△EFG．…（1分）
∵S_△EFG+S_△BCG=20，
∴S_△BCG=16．…（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形重心的性質(zhì)以及菱形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．