Question

（2012•拱墅區(qū)一模）甲、乙同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，在周長為180米的圓形跑道上背向而馳，甲以1.5米/秒的速度作順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，乙以4.5米/秒的速度作逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．
（1）出發(fā)后經(jīng)過多少時(shí)間他們第一次相遇？
（2）在第一次相遇前，經(jīng)過多少時(shí)間兩者相距

90 3

π

米？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩人的速度得出兩人圍跑到跑一圈第一次相遇，則（1.5+4.5）x=180，求出即可；
（2）根據(jù)題意畫出圖形得出圓形半徑，進(jìn)而得出cos∠OE₁H=

HE1

E1O

=

90 3 π × 1 2

90 π

=

3

2

，求出∠E₁OF₁=120°進(jìn)而利用分類討論得出答案即可．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒他們第一次相遇（在A點(diǎn)）
則（1.5+4.5）x=180；  
解得x=30；

（2）在△OE₁F₁中，作OH⊥E₁F₁，
設(shè)在相遇前經(jīng)過x秒兩者相距

90 3

π

米，
即E₁F₁=

90 3

π

，
∵周長為180米的圓形跑道，
∴2πr=180，
∴r=

90

π

，
∴cos∠OE₁H=

HE1

E1O

=

90 3 π × 1 2

90 π

=

3

2

，
∴∠OE₁H=30°，
由Rt△OE₁H，得出∠E₁OH=60°，
∴∠E₁OF₁=120°，
（1.5+4.5）x=

1

3

×180，
解得x=10，
由于圓的對稱性還有（1.5+4.5）x=

2

3

×180，
解得x=20，
故在第一次相遇前，經(jīng)過10秒或20秒兩者相距

90 3

π

米．

點(diǎn)評：此題主要考查了垂徑定理以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用和相遇問題，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．