Question

已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，AB＞CD，若CD=4，則AB的弦心距是    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)AC和BD的交點(diǎn)是O．過點(diǎn)O作GH⊥CD于G，交AB于H．根據(jù)等角的余角相等以及圓周角定理可以證明點(diǎn)H是AB的中點(diǎn)．再過點(diǎn)O作MN⊥AB于M，交CD于點(diǎn)N．同樣可以證明N是CD的中點(diǎn)．設(shè)該圓的圓心是O′，連接O′N、O′H．根據(jù)垂徑定理的推論，得O′N⊥CD，O′H⊥AB．則O′N∥GH，O′H∥MN，則四邊形O′NOH是平行四邊形，則O′H=ON=CD=2．
解答：解：如圖，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于點(diǎn)N．
在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；
∴∠DOG=∠DCO；
∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，
∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可證，AH=OH；
即H是Rt△AOB斜邊AB上的中點(diǎn)．
同理可證得，M是Rt△COD斜邊CD上的中點(diǎn)．
設(shè)圓心為O′，連接O′M，O′H；則O′M⊥CD，O′H⊥AB；
∵M(jìn)N⊥AB，GH⊥CD；
∴O′H∥MN，OM∥GH；即四邊形O′HOM是平行四邊形；
因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜邊CD上的中線，所以O(shè)M=O′H=CD=2．
故答案是：2．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了等角的余角相等以及等弧所對(duì)的圓周角相等，發(fā)現(xiàn)垂直于一邊的直線，和另一邊的交點(diǎn)正好是它的中點(diǎn)．再根據(jù)垂徑定理的推論，得到垂直，發(fā)現(xiàn)平行四邊形．根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，即可求解．