Question

（2007•臨沂）如圖1，已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若點(diǎn)C在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得△OBP與△OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A（2，1），設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)式，把點(diǎn)O（0，0）代入即可求解析式；
（2）依題意得CD∥OB，CD=OB=4，又對(duì)稱(chēng)軸x=2，故D點(diǎn)橫坐標(biāo)x=6，代入拋物線(xiàn)解析式可求D點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸可求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D′；
（3）根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸可知AO=AB，△AOB為等腰三角形，要使得△OBP與△OAB相似，則∠POB=∠BOA，A與A′對(duì)稱(chēng)，可求直線(xiàn)OP的解析式，與拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立可求P點(diǎn)坐標(biāo)，檢驗(yàn)BP與OB是否相等．
解答：解：（1）由題意可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為
y=a（x-2）²+1
∵拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，
∴0=a（0-2）²+1，
∴．
拋物線(xiàn)的解析式為y=-（x-2）²+1，
即y=-x²+x

（2）如圖1，當(dāng)四邊形OCDB是平行四邊形時(shí)，CD=OB，
由0=-（x-2）²+1得x₁=0，x₂=4，
∴B（4，0），OB=4．
由于對(duì)稱(chēng)軸x=2
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．
將x=6代入y=-（x-2）²+1，得y=-3，
∴D（6，-3）；
根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，
在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)D，使得四邊形ODCB是平行四邊形，此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-3），
當(dāng)四邊形OCBD是平行四邊形時(shí)，D點(diǎn)即為A點(diǎn)，此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）

（3）不存在．
如圖2，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO．
若△BOP與△AOB相似，必須有∠POB=∠BOA=∠BPO
設(shè)OP交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于A′點(diǎn)，顯然A′（2，-1）
∴直線(xiàn)OP的解析式為y=-x
由-x=-x²+x，得x₁=0，x₂=6．
∴P（6，-3）
過(guò)P作PE⊥x軸，在Rt△BEP中，BE=2，PE=3，
∴PB=≠4．
∴PB≠OB，
∴∠BOP≠∠BPO，
∴△PBO與△BAO不相似，
同理可說(shuō)明在對(duì)稱(chēng)軸左邊的拋物線(xiàn)上也不存在符合條件的P點(diǎn)．
所以在該拋物線(xiàn)上不存在點(diǎn)P，使得△BOP與△AOB相似．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，利用拋物線(xiàn)的性質(zhì)尋找平行四邊形，相似三角形等問(wèn)題，需要根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，形數(shù)結(jié)合，解答問(wèn)題．