Question

（2011•江寧區(qū)二模）如圖在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，現(xiàn)將一塊直徑為2的半圓形紙片放置在矩形ABCD中，使其直徑與AD重合，若將半圓上點(diǎn)D固定，再把半圓往矩形外旋至A′D處，半圓弧A^′D與AD交于點(diǎn)P，設(shè)∠ADA′=α．
（1）若AP=2-，求α的度數(shù)；
（2）當(dāng)∠α=30°時(shí)，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)求α的度數(shù)，連接A′P根據(jù)圓周角定理，可知∠A′PD=90°，在直角三角形A′PD中，已知了AP的長(zhǎng)又有AD的長(zhǎng)，那么就求出了PD的長(zhǎng)，又有半圓半徑的長(zhǎng)，那么可用余弦函數(shù)求出α的度數(shù)；
（2）觀察圖可看出陰影部分的面積=半圓的面積-弓形的面積，已知了半圓的半徑，那么可求出半圓的面積，而弓形的面積=扇形OPD的面積-三角形OPD的面積，有∠ADA′的度數(shù)可根據(jù)等邊對(duì)頂角和三角形的內(nèi)角和求出∠POD的度數(shù)，也就求出了扇形的面積，三角形POD中，求出了PD的長(zhǎng)，高可用半徑的長(zhǎng)和正弦函數(shù)求出，因此就能求出三角形POD的面積了，也就能求出陰影部分的面積．
解答：解：（1）連接PA′，
∵AD是直徑，
∴∠A′PD=90°．
∵AD=A′D=2，且AP=2-，
∴PD=，
∴cosα==，
∴∠а=45°；

（2）連接OP．
S_陰影部分=S_半圓-S_弓形PD=π-（S_扇形POD-S_△POD）
=π-（-××）
=π+．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了扇形的面積公式和解直角三角形的應(yīng)用．求不規(guī)則的圖形的面積，可以轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和或差來(lái)求．