Question

如圖1，等腰直角三角板的一個銳角頂點與正方形ABCD的頂點A重合，將此三角板繞點A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC，DC于點E，F(xiàn)，連接EF．

（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）在圖1中，過點A作AM⊥EF于點M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點A作AM⊥EF于點M，試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系．并證明你的猜想．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）EF=BE+DF。證明見解析

（2）AM=AB。

（3）AM=AB。證明見解析

【解析】

試題分析：（1）延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據(jù)四邊形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，證△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，證△EAQ≌△EAF，

推出EF=BQ即可。

（2）∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，∴×BQ×AB=×FE×AM。∴AM=AB。

（3）延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據(jù)折疊和已知得出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，

∠BAC=∠DAC=∠BAD，證得△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠FAE，從而證得△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可。

解：（1）EF=BE+DF。證明如下：

如答圖，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°。

在△ADF和△ABQ中，

∵AB=AD，∠ABQ=∠D，BQ=DF，

∴△ABQ≌△ADF（SAS）。

∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF。

∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°。

∴∠BAE+∠BAQ=45°，即∠EAQ=∠EAF。

在△EAQ和△EAF中，∵AE=AE，∠EAQ=∠EAF，AQ=AF，

∴△EAQ≌△EAF（SAS）。∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF。

（2）AM=AB。

（3）AM=AB。證明如下：

如答圖，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，

∵折疊后B和D重合，

∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，

∠BAC=∠DAC=∠BAD。

在△ADF和△ABQ中，

∵AB=AD，∠ABQ=∠D，BQ=DF，

∴△ADF≌△ABQ（SAS）�！郃Q=AF，∠QAB=∠DAF。

∵∠FAE=∠BAD，

∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，即∠EAQ=∠FAE。

在△EAQ和△EAF中，∵AE=AE，∠EAQ=∠EAF，AQ=AF，

∴△EAQ≌△EAF（SAS）�！郋F=BQ。

∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，∴×BQ×AB=×FE×AM。

∴AM=AB。