Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立刻以原來(lái)的速度沿AB返回．點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止．連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)（未到達(dá)A點(diǎn)），若△APQ∽△ABC，求t的值；
（2）伴隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線為直線l．
①當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，射線QP交AD邊于點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng)；
②是否存在t的值，使得直線l經(jīng)過點(diǎn)B？若存在，請(qǐng)求出所有t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出AC，根據(jù)△APQ∽△ABC得出方程，求出方程的解即可；
（2）①根據(jù)線段垂直平分線得出AP=AQ，得出3-t=t，求出t=1.5，延長(zhǎng)QP交AD于E，過Q作QO∥AD交AC于O，根據(jù)△AQO∽△ABC，求出AO=，QO=2，根據(jù)△APE∽△OPQ即可求出答案；②（i）當(dāng)點(diǎn)Q從B向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l過B點(diǎn)，BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，∠PBC=∠PCB，得出CP=AP=AC，代入求出即可；（ii）當(dāng)點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l過B點(diǎn)，過P作PG⊥BC于G，根據(jù)△PGC∽△ABC求出PG=（5-t），CG=（5-t），由勾股定理得出方程（6-t）²=（t）²+[（5-t）]²，求出方程的解即可．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5，
∵△APQ∽△ABC，
∴=，
∴=，
t=；

（2）①∵QP的垂直平分線過A，
∴AP=AQ，
∴3-t=t，
t=1.5，
∴AP=AQ=1.5，
延長(zhǎng)QP交AD于E，過Q作QO∥AD交AC于O，
則QO∥BC，
∴△AQO∽△ABC，
∴==，
∴AO=•AC=，QO=•BC=2，
∴PO=AO-AP=1，
∵QO∥AD，
∴△APE∽△OPQ，
∴=，
∴AE=•OQ=3．

②解：存在t的值，使得直線l經(jīng)過點(diǎn)B，
理由是：（i）如圖2，
當(dāng)點(diǎn)Q從B向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l過B點(diǎn)，
BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，
∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°，
∴∠PBC=∠PCB，
∴CP=BP=AP=t，
∴CP=AP=AC=×5=2.5，
即t=2.5；
（ii）如圖3，
當(dāng)點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l過B點(diǎn)，
BP=BQ=3-（t-3）=6-t，AP=t，PC=5-t，
過P作PG⊥BC于G，
則PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC，
∴==，
∴PG=•AB=（5-t），CG=•BC=（5-t），
由勾股定理得：BP²=BG²+PG²，
∴（6-t）²=（t）²+[（5-t）]²，
t=，
存在t的值，使得直線l經(jīng)過點(diǎn)B，t的值是2.5或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．