Question

如圖，四邊形ABCD是任意四邊形，過(guò)點(diǎn)A，C作BD的平行線，再過(guò)點(diǎn)B、D作AC的平行線，設(shè)四條直線的交點(diǎn)為P，Q，M，N．
（1）按要求補(bǔ)全圖形，并判斷四邊形PQMN的形狀．
（2）圖中有多少個(gè)平行四邊形？設(shè)四邊形ABCD的面積為4，則四邊形PQMN的面積為多少？
（3）如果AC⊥BD，則四邊形PQMN是什么四邊形？若AC=BD，則四邊形PQMN是什么四邊形？若四邊形PQMN是正方形，則AC與BD應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，利用兩組對(duì)邊平行的四邊形為平行四邊形得到PQMN為平行四邊形；
（2）圖形中有9個(gè)平行四邊形，分別寫出；根據(jù)四邊形PQMN面積為四邊形ABCD的2倍即可求出；
（3）如果AC⊥BD，則四邊形PQMN是矩形；若AC=BD，則四邊形PQMN是菱形；若四邊形PQMN是正方形，則AC與BD應(yīng)滿足垂直且相等，分別驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）做出相應(yīng)的圖形，如圖所示，四邊形PQMN為平行四邊形，
理由為：∵PN∥BD∥QM，PQ∥AC∥MN，
∴四邊形PQMN為平行四邊形；

（2）圖中有9個(gè)平行四邊形，分別為四邊形PDOA，四邊形DOCQ，四邊形AOBN，四邊形OBMC，四邊形ACQP，四邊形ACMN，四邊形PDBN，四邊形BDQM，四邊形PQMN，
設(shè)四邊形ABCD的面積為4，即S_△AOD+S_△COD+S_△AOB+S_△BOC=4，
則四邊形PQMN的面積為2（S_△AOD+S_△COD+S_△AOB+S_△BOC）=8；

（3）如果AC⊥BD，則四邊形PQMN是矩形，理由為：
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵四邊形AODP為平行四邊形，
∴四邊形AODP為矩形，
∴∠P=90°，
∵四邊形PQMN為平行四邊形，
∴四邊形PQMN為矩形；
若AC=BD，則四邊形PQMN是菱形，理由為：
∵四邊形ACQP與四邊形BDQM為平行四邊形，
∴PQ=AC，BD=QM，
∵AC=BD，
∴PQ=QM，
∵四邊形PQMN為平行四邊形，
∴四邊形PQMN為菱形；
若四邊形PQMN是正方形，則AC與BD應(yīng)滿足AC⊥BD，AC=BD，理由為：
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵四邊形AODP為平行四邊形，
∴四邊形AODP為矩形，
∴∠P=90°，
∵四邊形PQMN為平行四邊形，
∴四邊形PQMN為矩形，
∵四邊形ACQP與四邊形BDQM為平行四邊形，
∴PQ=AC，BD=QM，
∵AC=BD，
∴PQ=QM，
∴四邊形PQMN為正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：平行四邊形，矩形，菱形以及正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各自的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．