Question

關(guān)于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0的兩實根x₁、x₂滿足|x₁+x₂|=x₁x₂-1．點A為直線y=x上一點，過A作AC⊥x軸交x軸于C，交雙曲線于B，求OB²-AB²的值．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=2k-2，x₁x₂=k²，再根據(jù)|x₁+x₂|=x₁•x₂-1，得出關(guān)于k的方程，解方程得出k的值，再利用勾股定理得出OB²=OC²+BC²，AB²=（AC+BC） ²=OC²+BC²+2OC•BC，得出OB²-AB²=-2OC•BC求出即可．
解答：解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=2k-2，x₁x₂=k²，
當(dāng)2k-2≥0時，
∵|x₁+x₂|=x₁•x₂-1，
∴2k-2=k²-1，
∴k=1（此時不合題意），
當(dāng)2k-2＜0時，
∵|x₁+x₂|=x₁•x₂-1，
∴2-2k=k²-1，
∴k₁=1（舍去），k₂=-3．
故k=-3，
根據(jù)題意畫出圖象：
∵點A為直線y=x上一點，
∴AC=CO，
∵OB²=OC²+BC²，AB²=（AC+BC） ²=OC²+BC²+2OC•BC，
∴OB²-AB²=OC²+BC²-（OC²+BC²+2OC•BC）=-2OC•BC=-2k=6．
點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是列出關(guān)于k的方程以及利用勾股定理得出OB²-AB²=-2OC•BC．