Question

如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連接BD并延長與CE交于點E．
（1）求證：△ABD∽△CED．
（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的長．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°；
∵CE是外角平分線，
∴∠ACE=60°；
∴∠BAC=∠ACE；
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；

（2）解：作BM⊥AC于點M，AC=AB=6，在Rt△ABM中
∴AM=CM=3，BM=AB•sin60°=；
∵AD=2CD，
∴CD=2，AD=4，MD=1；
在Rt△BDM中，BD==；
由（1）△ABD∽△CED得，，，
∴ED=，
∴BE=BD+ED=．
分析：（1）由于△ABC是等邊三角形，易知∠A=60°，∠ACF=120°；而CE平分∠ACF，可得∠A=∠DCE=60°，又已知了一組對頂角，兩組對應(yīng)角相等，可判定所求的兩個三角形相似；
（2）由于△ABC是等邊三角形，則AC=BC=6，由此可求出AC、CD的長；過B作BM⊥AC于M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)知AM=MC，由此可求出MD、MB的長，進(jìn)而可由勾股定理求出BD的長；根據(jù)（1）的相似三角形，可得出關(guān)于AD、CD，BD、DE的比例關(guān)系式，即可求出DE的長，從而由BE=BD+DE求出BE的長．
點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)；（2）題中能夠正確的構(gòu)建出直角三角形求出BD的長是解答此題的關(guān)鍵．