點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA=6,PB=8,PC=10,則∠APB=________.

150°
分析:將△BCP繞B逆時針旋轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)C和A重合,P到P′,連接PP′,得出等邊三角形PBP′,求出∠BPP′=60°,推出直角三角形APP′,求出∠APP′,即可求出答案.
解答:將△BCP繞B逆時針旋轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)C和A重合,P到P′,連接PP′,
∵∠PBP′=60°,BP=BP′,
∴△PBP′是等邊三角形,
∴∠BPP′=60°,
∵PP′=8,AP′=PC=10,PA=P′A=6,
∴PP′2+PA2=AP′2,
∴∠APP′=90°,
∴∠APB=60°+90°=150°.
故答案為:150°.
點(diǎn)評:本題考查了等邊三角形的旋轉(zhuǎn)和判定,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理的逆定理的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是正確作輔助線,把PA、PB、PC放在“一個三角形”中,主要考查學(xué)生的思維能力和運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我們知道:如果兩個三角形不僅是相似三角形,而且每對對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個點(diǎn),那么這兩個三角形叫做位似三角形,它們的相似比又稱為位似比,這個點(diǎn)叫做位似中心.利用三角形的位似可以將一個三角形縮小或放大.
(1)選擇:如圖1,點(diǎn)O是等邊三角形PQR的中心,P′、Q′、R′分別是OP、OQ、OR的中點(diǎn),則△P′Q′R′與△PQR是位似三角形.此時,△P′Q′R′與△PQR的位似比、位似中心分別為
 
;
(A)2、點(diǎn)P,(B)
1
2
、點(diǎn)P,( C)2、點(diǎn)O,(D)
1
2
、點(diǎn)O;
(2)如圖2,用下面的方法可以畫△AOB的內(nèi)接等邊三角形.閱讀后證明相應(yīng)問題精英家教網(wǎng)
畫法:
①在△AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE,使點(diǎn)C在OA上,點(diǎn)D在OB上;
②連接OE并延長,交AB于點(diǎn)E′,過點(diǎn)E′作E′C′∥EC,交OA于點(diǎn)C′,作E′D′∥ED,交OB于點(diǎn)D′;
③連接C′D′,則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接三角形.
求證:△C′D′E′是等邊三角形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

15、如圖所示,已知點(diǎn)D是等邊三角形ABC的邊BC延長線上的一點(diǎn),∠EBC=∠DAC,CE∥AB.求證:△CDE是等邊三角形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

(2012•海淀區(qū)二模)閱讀下面材料:
小明遇到這樣一個問題:
我們定義:如果一個圖形繞著某定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度α (0°<α<360°) 后所得的圖形與原圖形重合,則稱此圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形.如等邊三角形就是一個旋轉(zhuǎn)角為120°的旋轉(zhuǎn)對稱圖形.如圖1,點(diǎn)O是等邊三角形△ABC的中心,D、E、F分別為AB、BC、CA的中點(diǎn),請你將△ABC分割并拼補(bǔ)成一個與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對稱圖形.

小明利用旋轉(zhuǎn)解決了這個問題,圖2中陰影部分所示的圖形即是與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對稱圖形.
請你參考小明同學(xué)解決問題的方法,利用圖形變換解決下列問題:
如圖3,在等邊△ABC中,E1、E2、E3分別為AB、BC、CA 的中點(diǎn),P1、P2,M1、M2,N1、N2分別為AB、BC、CA的三等分點(diǎn).
(1)在圖3中畫出一個和△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對稱圖形,并用陰影表示(保留畫圖痕跡);
(2)若△ABC的面積為a,則圖3中△FGH的面積為
a
7
a
7

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

(2013•宜興市二模)閱讀下面材料:
小明同學(xué)遇到這樣一個問題:定義:如果一個圖形繞著某定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度α (0°<α<360°) 后所得的圖形與原圖形重合,則稱此圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形.如等邊三角形就是一個旋轉(zhuǎn)角為120°的旋轉(zhuǎn)對稱圖形.如圖1,點(diǎn)O是等邊三角形△ABC的中心,D、E、F分別為AB、BC、CA的中點(diǎn),請你將△ABC分割并拼補(bǔ)成一個與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對稱圖形.小明利用旋轉(zhuǎn)解決了這個問題(如圖2所示).圖2中陰影部分所示的圖形即是與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對稱圖形.請你參考小明同學(xué)解決問題的方法,利用圖形變換解決下列問題:
如圖3,在等邊△ABC中,E1、E2、E3分別為AB、BC、CA 的中點(diǎn),P 1、P2,M1、M2,N1、N2分別為AB、BC、CA的三等分點(diǎn).
(1)在圖3中畫-個和△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對稱圖形,并用陰影表示(保留畫圖痕跡);
(2)若△ABC的邊長為6,則圖3中△ABM1的面積為
3
3
3
3

(3)若△ABC的面積為a,則圖3中△FGH的面積為
a
7
a
7

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知點(diǎn)O是等邊三角形ABC的∠BAC、∠ACB的平分線的交點(diǎn),以O(shè)為頂點(diǎn)作∠DOE=120°,其兩邊分別交AB、BC于D、E,則四邊形DBEO的面積與三角形ABC的面積之比是
1:3
1:3

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