Question

如圖，已知AB=AC，以AB為直徑的圓O交邊BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．
（1）求證：DE是圓O的切線；
（2）如果∠BAC=120°，求證：DE=

1

4

BC．

Answer 1

（1）證明：
連接OD、AD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC（三線合一定理），
∵BO=OA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是半徑，
∴DE是圓O的切線；

（2）證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=

1

2

（180°-∠BAC）=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴DE=

1

2

DC，
∵DC=BD=

1

2

BC，
∴DE=

1

4

BC．