現(xiàn)有邊長為180厘米的正方形鐵皮,準(zhǔn)備將它設(shè)計(jì)并制成一個(gè)開口的水槽,使水槽能通過的水的流量最大.
某校九年級(2)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論:在水流速度一定的情況下,水槽的橫截面面積越大,則通過水槽的水的流量越大.為此,他們對水槽的橫截面,進(jìn)行了如下探索:
(1)方案①:把它折成橫截面為矩形的水槽,如圖.
若∠ABC=90°,設(shè)BC=x厘米,該水槽的橫截面面積為y厘米2,請你寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍),并求出當(dāng)x取何值時(shí),y的值最大,最大值又是多少?
方案②:把它折成橫截面為等腰梯形的水槽,如圖.
若∠ABC=1 20°,請你求出該水槽的橫截面面積的最大值,并與方案①中的y的最大值比較大。
(2)假如你是該興趣小組中的成員,請你再提供一種方案,使你所設(shè)計(jì)的水槽的橫截面面積更大.畫出你設(shè)計(jì)的草圖,標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)(不要求寫出解答過程).

【答案】分析:(1)根據(jù)題目所給的x的值和矩形梯形的性質(zhì),求出各線段長,把面積用含y的代數(shù)式表示出來;
(2)先猜想截面的形狀,再進(jìn)行驗(yàn)證計(jì)算,可多設(shè)計(jì)幾種方案.
解答:解:(1)①當(dāng)BC=x時(shí),AB=CD=,y=x,即y=-x2+90x,
當(dāng)x=90時(shí),ymax=4050
答:當(dāng)x=90cm時(shí),y值最大,最大值是4050cm2
②過B、C點(diǎn)分別作BE⊥AD于E,CE⊥AD于F.
設(shè)BC=x,y=(-x2+360x+32400)
=
當(dāng)x=60時(shí),y=2700≈4676.5.
答:當(dāng)x=60cm時(shí),y值最大,最大值是4676.5cm2
4676.5>4050(8分)

(2)正確方案:
例解:當(dāng)截面為半圓時(shí),因?yàn)?80=πr,所以其半徑為r=,其面積為S=π(2
≈5156.6>4676.5,面積更大.
①正八邊形一半,②正十邊形一半,③半圓等.

點(diǎn)評:此題是一道探索性操作題,根據(jù)圖形特點(diǎn)將面積的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題解答是解題的關(guān)鍵,(2)著重考查了同學(xué)們的實(shí)驗(yàn)探索能力,需要進(jìn)行猜想和驗(yàn)證計(jì)算.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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若∠ABC=90°,設(shè)BC=x厘米,該水槽的橫截面面積為y厘米2,請你寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍),并求出當(dāng)x取何值時(shí),y的值最大,最大值又是多少?
方案②:把它折成橫截面為等腰梯形的水槽,如圖.
若∠ABC=1 20°,請你求出該水槽的橫截面面積的最大值,并與方案①中的y的最大值比較大。
(2)假如你是該興趣小組中的成員,請你再提供一種方案,使你所設(shè)計(jì)的水槽的橫截面精英家教網(wǎng)面積更大.畫出你設(shè)計(jì)的草圖,標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)(不要求寫出解答過程).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:第2章《二次函數(shù)》中考題集(23):2.6 何時(shí)獲得最大利潤(解析版) 題型:解答題

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