Question

若兩個(gè)正整數(shù)a、b的最大公約數(shù)比最小公倍數(shù)小23，且a≤b，則這樣的數(shù)對（a，b）共有

 

個(gè)．

Answer 1

分析：根據(jù)題意先設(shè)a=mc，b=nc（m，n，c是正整數(shù)，且m，n互質(zhì)），從而得到mnc-c=23，即c=

23

mn-1

．再分兩種情況討論，當(dāng)mn=24時(shí)和當(dāng)mn=2時(shí)，就會(huì)得到這樣的數(shù)對（a，b）共有3個(gè)．

解答：解：設(shè)a=mc，b=nc（m，n，c是正整數(shù)，且m，n互質(zhì)），
則mnc-c=23，即c=

23

mn-1

．
當(dāng)mn=24時(shí)，則有這樣的數(shù)對（3，8）（24，1）；
當(dāng)mn=2時(shí)，則有這樣的數(shù)對（2，1）；
經(jīng)討論可得有這樣的數(shù)對3個(gè)．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查了最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，解題的關(guān)鍵是分類討論，以防漏解．