Question

（2011•三元區(qū)質(zhì)檢）如圖甲，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過A（-1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）經(jīng)過點(diǎn)B、D兩點(diǎn)的直線與x軸交于點(diǎn)E，若點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）若平行于x軸的直線與拋物線交于G、H兩點(diǎn)，且GH為直徑的圓與x軸相切，求這個(gè)圓半徑的長；
（4）如圖乙，P（2，3）是拋物線上的點(diǎn)，Q是直線AP上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求△APQ的最大面積和此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（-1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx-3a求出a、b的值就可以求出拋物線的解析式．然后化為頂點(diǎn)式就可以就可以求出其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，待定系數(shù)法即可求出直線BD的解析式，從而求出直線BD與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，就可以求出AE的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)就可以求出BF=2，知道F的橫坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可以求出F的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和圓的而且顯性質(zhì)，可以知道M的橫坐標(biāo)，設(shè)出M的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出M的坐標(biāo)，從而求出圓的半徑．
（4）設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，作PS⊥x軸，QR⊥x軸于點(diǎn)S、R，則利用S_△PQA=S_{四邊形PSRQ}+S_△QRA-S_△PSA，就可以把其面積的表達(dá)式表示出來，最后化成頂點(diǎn)式就可以求出其最值和Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過A（-1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，
∴

0=a-b-3a 3=-3a

，解得：

a=-1 b=2

拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3
y=-（x-1）²+4
∴D（1，4）；

（2）∵四邊形AEBF是平行四邊形，
∴BF=AE．
∵B（0，3），
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
則

3=b 4=k+b

，
解得

k=1 b=3

，
∴直線BD的解析式為：y=x+3
當(dāng)y=0時(shí)，x=-3
∴E（-3，0），
∴OE=3，
∵A（-1，0）
∴OA=1，
∴AE=2
∴BF=2，
∴F的橫坐標(biāo)為2，
∴y=3，
∴F（2，3）；

（3）設(shè)直徑為GH的⊙M切x軸于點(diǎn)N，連接MN，作HQ⊥x軸于Q，
∴MN⊥x軸，且MN=HM，
∴四邊形MNQH為正方形．由拋物線的對(duì)稱性得MH=MG，
∴M在拋物線的對(duì)稱軸上，設(shè)M（1，a），
∴H（a+1，a），
∴a=-（a+1）²+2（a+1）+3，解得：
a₁=

-1- 17

2

，a₂=

-1+ 17

2

．
∴這個(gè)圓半徑的長為：

-1+ 17

2

，

1+ 17

2

．

（4）如圖，設(shè)Q（a，-a²+2a+3），作PS⊥x軸，QR⊥x軸于點(diǎn)S、R，且P（2，3），
∴AR=a+1，QR=-a²+2a+3，PS=3，RS=2-a，
∴S_△PQA=S_{四邊形PSRQ}+S_△QRA-S_△PSA
=

(a+1)(-a2+2a+3)

2

+

(3-a2+2a+3) (2-a)

2

-

3×3

2

，
∴S_△PQA=-

3

2

（a-

1

2

）²+

27

8

，
∴當(dāng)a=

1

2

時(shí)，S_△PQA的面積最大為

27

8

，
∴Q（

1

2

，

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，頂點(diǎn)坐標(biāo)，平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，圓的切線的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的計(jì)算．