Question

（2010•寧德）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．
（1）求證：△AMB≌△ENB；
（2）①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最小；
②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；
（3）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易證出△AMB≌△ENB；
（2）①根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得，當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最�。�
②根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)（如圖）；
（3）作輔助線，過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，由題意求出∠EBF=30°，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng)為．
解答：（1）證明：∵△ABE是等邊三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵M(jìn)B=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）

（2）解：①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，A、M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最小．（7分）
②如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，
AM+BM+CM的值最�。�（9分）
理由如下：連接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等邊三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)．（11分）

（3）解：過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，
∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BF=x，EF=．
在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴（）²+（x+x）²=．（12分）
解得，x₁=，x₂=-（舍去負(fù)值）．
∴正方形的邊長(zhǎng)為．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性的題目難度很大．