Question

如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°
操作：將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC于點Q．
探究一：在旋轉(zhuǎn)過程中，
（1）如圖2，當(dāng)時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明；
（2）如圖3，當(dāng)時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（3）根據(jù)你對（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)時，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為______，其中m的取值范圍是______．（直接寫出結(jié)論，不必證明）
探究二：若且AC=30cm，連接PQ，設(shè)△EPQ的面積為S（cm²），在旋轉(zhuǎn)過程中：
（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由．
（2）隨著S取不同的值，對應(yīng)△EPQ的個數(shù)有哪些變化，求出相應(yīng)S的值或取值范圍．

Answer 1

解：探究一：（1）連接BE，根據(jù)E是AC的中點和等腰直角三角形的性質(zhì)，得
BE=CE，∠PBE=∠C，
又∠BEP=∠CEQ，
則△BEP≌△CEQ，得EP=EQ；

（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，
∴∠EMP=∠ENC，
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，
∴∠MEP=∠NEF，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；

（3）過E點作EM⊥AB于點M，作EN⊥BC于點N，
∵在四邊形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，
∴∠EPB+∠EQB=180°（四邊形的內(nèi)角和是360°），
又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是180°），
∴∠MPE=∠EQN（等量代換），
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ（AA），
∴（兩個相似三角形的對應(yīng)邊成比例）；
在Rt△AME∽Rt△ENC
∴=m=
∴=1：m=，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為1：m，
∴0＜m≤2+；（當(dāng)m＞2+時，EF與BC不會相交）．

探究二：若AC=30cm，
（1）設(shè)EQ=x，則S=x²，
所以當(dāng)x=10時，面積最小，是50cm²；
當(dāng)x=10時，面積最大，是75cm²．

（2）當(dāng)x=EB=5時，S=62.5cm²，
故當(dāng)50＜S≤62.5時，這樣的三角形有2個；
當(dāng)S=50或62.5＜S≤75時，這樣的三角形有一個．
分析：探究一：（1）連接BE，根據(jù)已知條件得到E是AC的中點，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明DE=CE，∠PBE=∠C．根據(jù)等角的余角相等可以證明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，從而證明結(jié)論；
（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根據(jù)兩個角對應(yīng)相等證明△MEP∽△NWQ，發(fā)現(xiàn)EP：EQ=EM：EN，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EM：EN=AE：CE；
（3）根據(jù)（2）中求解的過程，可以直接寫出結(jié)果；要求m的取值范圍，根據(jù)交點的位置的限制進(jìn)行分析．
探究二：（1）設(shè)EQ=x，結(jié)合上述結(jié)論，用x表示出三角形的面積，根據(jù)x的最值求得面積的最值；
（2）首先求得EQ和EB重合時的三角形的面積的值，再進(jìn)一步分情況討論．
點評：熟練運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解．