Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，與CD的延長線交于點(diǎn)G，連接BG，且BE＝BC，BG＝5，∠BGF＝45°，EG＝3，若點(diǎn)M是線段BF上的一個動點(diǎn)，將△MEF沿ME所在直線翻折得到△MEF′，連接CF′，則CF′長度的最小值是_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

連接CE，易知當(dāng)點(diǎn)F′落在線段CE上時，線段CF′的長度最小，在△BGF中，EF⊥AB，∠BGF＝45°，BG＝5，可得BF＝FG＝5，FE＝2，由勾股定理可得，BE＝，由平行四邊形ABCD可得，AD∥BC，又因?yàn)?/span>BE⊥AD，推出BE⊥BC，繼而推出△BCE是等腰直角三角形，然后根據(jù)勾股定理求出CE，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得EF′＝EF，最后由CF′＝CE－EF′即可求解．

解：如圖所示，連接CE，易知當(dāng)點(diǎn)F′落在線段CE上時，線段CF′的長度最小，

∵EF⊥AB，BGF＝45°，BG＝5，

∴△BGF是等腰直角三角形，BF＝FG＝5，

∵EG＝3，

∴FE＝FG－ EG＝5－3＝2，

由勾股定理得，BE＝＝＝，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC

又∵BE⊥AD， BE＝BC

∴BE⊥BC

∴△BCE是等腰直角三角形，

由勾股定理得，CE＝＝，

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得：EF′＝EF＝2，

∴CF′＝CE－EF′＝－2

故答案為：－2