Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A（﹣6，0），過(guò)點(diǎn)E（﹣2，0）作EF∥AB，交BO于F；

（1）求EF的長(zhǎng)；

（2）過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l分別與直線(xiàn)AO、直線(xiàn)BC交于點(diǎn)H、G；

①根據(jù)上述語(yǔ)句，在圖1上畫(huà)出圖形，并證明；

②過(guò)點(diǎn)G作直線(xiàn)GD∥AB，交x軸于點(diǎn)D，以圓O為圓心，OH長(zhǎng)為半徑在x軸上方作半圓（包括直徑兩端點(diǎn)），使它與GD有公共點(diǎn)P．如圖2所示，當(dāng)直線(xiàn)l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，證明：，并通過(guò)操作、觀察，直接寫(xiě)出BG長(zhǎng)度的取值范圍（不必說(shuō)理）；

（3）在（2）中，若點(diǎn)M（2，），探索2PO+PM的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）2

（2）①見(jiàn)解析   ②見(jiàn)解析

（3）8

【解析】

試題分析：（1）利用正方形與平行線(xiàn)的性質(zhì)，易求線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度．

（2）①首先依題意畫(huà)出圖形，如答圖1所示．證明△OFH∽△BFG，得；由EF∥AB，得．所以。

②由OP=OH，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，根據(jù)①中的結(jié)論，易得，故問(wèn)題得證。

（3）本問(wèn)為探究型問(wèn)題，利用線(xiàn)段性質(zhì)（兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短）解決，如答圖2所示，構(gòu)造矩形，將2PO+PM轉(zhuǎn)化為NK+PM，由NK+PM≥NK+KM，NK+KM≥MN=8，可得當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段MN上時(shí)，2OP+PM的值最小，最小值為8。

解：（1）在正方形OABC中，∠FOE=∠BOA=∠COA=45°。

∵EF∥AB，∴∠FEO=∠BAO=90°�！唷螮FO=∠FOE=45°。

又E（﹣2，0），∴EF=EO=2。

（2）①畫(huà)圖，如答圖1所示。

證明：∵四邊形OABC是正方形，∴OH∥BC。

∴△OFH∽△BFG�！�。

∵EF∥AB，∴。

∴。

②證明：∵半圓與GD交于點(diǎn)P，∴OP=OH。

由①得：，

又EO=2，EA=OA﹣EO=6﹣2=4，

∴。

通過(guò)操作、觀察可得，4≤BG≤12。

（3）由（2）可得：，

∴2OP+PM=BG+PM。

如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)MN⊥AB于點(diǎn)N，交GD于點(diǎn)K，則四邊形BNKG為矩形。

∴NK=BG。

∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，即當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)MN上時(shí)，等號(hào)成立。

又∵NK+KM≥MN=8，當(dāng)點(diǎn)K在線(xiàn)段MN上時(shí)，等號(hào)成立。

∴當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段MN上時(shí)，2OP+PM的值最小，最小值為8。