Question

如圖1，已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（0，4）兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)D是第二象限內(nèi)點(diǎn)，以D為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線AB相切于點(diǎn)E、F、H（如圖2），問在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)一點(diǎn)P，使得|PH-PA|的值最大？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得：，
解得：．
∴拋物線解析式為y=x²-x+4；

（2）令y=0，得x²-x+4=0．
解得：x₁=1，x₂=3．
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
作CQ⊥AB，垂足為Q，延長CQ，使CQ=C'Q，則點(diǎn)C′，
就是點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)．
由△ABC的面積得：CQ•AB=CA•BO，
∵AB==5，CA=2，
∴CQ=，CC'=．
作C'T⊥x軸，垂足為T，
∵∠C′CT+∠BAO=90°，∠C′CA+∠CC′T=90°，
∴∠BAO=∠CC′T，
∵∠BOA=∠CTC′，
∴△CTC'∽△BOA．
∴，
∴C'T=，CT=
∴OT=1+=，
∴C'點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；

（3）設(shè)⊙D的半徑為r，
則AE=r+3，BF=4-r，HB=BF=4-r．
∵AB=5，且AE=AH，
∴r+3=5+4-r，
∴r=3．
HB=4-3=1．
作HN⊥y軸，垂足為N，
則，，
∴HN=，BN=，
∴H點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．
根據(jù)拋物線的對稱性，得PA=PC，
∵|PH-PA|=|PH-PC|≤HC，
∴當(dāng)H、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，|PH-PC|最大．
∵HC==，
∴|PH-PA|的最大值為．
分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（3，0）、B（0，4）兩點(diǎn)代入求出即可；
（2）首先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用△CTC'∽△BOA，得出，進(jìn)而得出C'T=，CT=的值求出C′點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）首先求出圓的半徑，再利用拋物線的對稱性，得PA=PC，根據(jù)|PH-PA|=|PH-PC|≤HC，得出當(dāng)H、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，|PH-PC|最大，求出即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出當(dāng)H、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，|PH-PC|是此題難點(diǎn)．