Question

如圖，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸以每秒1個(gè)單位長的速度向上移動(dòng)，且過點(diǎn)P的直線l：y=-x+b也隨之移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=3時(shí)，求l的解析式；
（2）若點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)，確定t的取值范圍；
（3）直接寫出t為何值時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出一次函數(shù)的解析式；
（2）分別求出直線l經(jīng)過點(diǎn)M、點(diǎn)N時(shí)的t值，即可得到t的取值范圍；
（3）找出點(diǎn)M關(guān)于直線l在坐標(biāo)軸上的對稱點(diǎn)E、F，如解答圖所示．求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，然后分別求出ME、MF中點(diǎn)坐標(biāo)，最后分別求出時(shí)間t的值．
解答：解：（1）直線y=-x+b交y軸于點(diǎn)P（0，b），
由題意，得b＞0，t≥0，b=1+t．
當(dāng)t=3時(shí)，b=4，
故y=-x+4．

（2）當(dāng)直線y=-x+b過點(diǎn)M（3，2）時(shí)，
2=-3+b，
解得：b=5，
5=1+t，
解得t=4．
當(dāng)直線y=-x+b過點(diǎn)N（4，4）時(shí)，
4=-4+b，
解得：b=8，
8=1+t，
解得t=7．
故若點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)，t的取值范圍是：4＜t＜7．

（3）如右圖，過點(diǎn)M作MF⊥直線l，交y軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E、F為點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上的對稱點(diǎn)．
過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，則OD=3，MD=2．
已知∠MED=∠OEF=45°，則△MDE與△OEF均為等腰直角三角形，
∴DE=MD=2，OE=OF=1，
∴E（1，0），F(xiàn)（0，-1）．
∵M(jìn)（3，2），F(xiàn)（0，-1），
∴線段MF中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．
直線y=-x+b過點(diǎn)（，），則=-+b，解得：b=2，
2=1+t，
解得t=1．
∵M(jìn)（3，2），E（1，0），
∴線段ME中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．
直線y=-x+b過點(diǎn)（2，1），則1=-2+b，解得：b=3，
3=1+t，
解得t=2．
故點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)，當(dāng)t=1時(shí)，落在y軸上，當(dāng)t=2時(shí)，落在x軸上．
點(diǎn)評：本題是動(dòng)線型問題，考查了坐標(biāo)平面內(nèi)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．難點(diǎn)在于第（3）問，首先注意在x軸、y軸上均有點(diǎn)M的對稱點(diǎn)，不要漏解；其次注意點(diǎn)E、F坐標(biāo)以及線段中點(diǎn)坐標(biāo)的求法．