Question

如圖，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．動點P、Q分別在邊AD和BC上，且BQ=2DP．線段PQ與BD相交于點E，過點E作EF∥BC，交CD于點F，射線PF交BC的延長線于點G，設(shè)DP=x．
（1）求的值．
（2）當點P運動時，試探究四邊形EFGQ的面積是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請用x的代數(shù)式表示四邊形EFGQ的面積S；如果不發(fā)生變化，請求出這個四邊形的面積S．
（3）當△PQG是以線段PQ為腰的等腰三角形時，求x的值．

Answer 1

解：（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴．
∵EF∥BC，∴．
又∵BQ=2DP，∴．

（2）不發(fā)生變化．
作EM⊥BC，垂足為點M，
在△BCD中，
∵EF∥BC，∴．
而BC=13，∴．
又∵PD∥CG，∴．
∴CG=2PD．
∴CG=BQ，即QG=BC=13．
作DN⊥BC，垂足為點N．
∴===，
而AB=12，
∴可求得EM=8．
∴．

（3）作PH⊥BC，垂足為點H．
（i）當PQ=PG時，．
∴．
解得．
（ii）當PQ=GQ時，．
解得x=2或．
綜上所述，當△PQG是以PQ為腰的等腰三角形時，x的值為、2或．
分析：（1）由平行線分線段成比例即可求解其比值；
（2）點P在AD上運動時，由平行線分線段成比例的性質(zhì)可得EF與QG的比例始終是1：3，且BQ=CG，所以其面積為定值，進而求出其面積即可；
（3）以線段PQ為腰，則可能是PQ=PG，也可能是PQ=QG，所以分開求解即可．
點評：本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)以及梯形的面積的求解和等腰三角形的判定問題，能夠利用所學知識熟練求解．