Question

如圖，頂點為P（4，-4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點（0，0），點A在該圖象上，OA交其對稱軸l于點M，點M、N關于點P對稱，連接AN、ON，
（1）求該二次函數(shù)的關系式；
（2）若點A在對稱軸l右側的二次函數(shù)圖象上運動時，請解答下面問題：
①證明：∠ANM=∠ONM；
②△ANO能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點A的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二次函數(shù)的頂點坐標，設出二次函數(shù)的頂點式，再由二次函數(shù)過原點，將原點坐標代入設出的解析式中，確定出a的值，即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）①過A作AH垂直于直線l，直線l與x軸交于點D，由A在二次函數(shù)圖象上，設A橫坐標為m，將x=m代入二次函數(shù)解析式，表示出縱坐標，確定出A的坐標，再由O的坐標，表示出直線AO的解析式，進而表示出M，N及H的坐標，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠ANM，化簡后得到tan∠ONM=tan∠ANM，可得出∠ONM=∠ANM，得證；
②△ANO能為直角三角形，理由為：分三種情況考慮：若∠ONA為直角，由①得到∠ANM=∠ONM=45°，可得出三角形AHN為等腰直角三角形，得到AH=HN，將表示出的AH及HN代入，得到關于m的方程，求出方程的解得到m的值為0或4±，進而得到此時A與P重合，不合題意，故∠ONA不能為直角；若∠AON為直角，利用勾股定理得到OA²+ON²=AN²，由A的坐標，利用勾股定理表示出OA²，由OD及DN，利用勾股定理表示出ON²，由AH及HN，利用勾股定理表示出AN²，代入OA²+ON²=AN²，得到關于m的方程，求出方程的解得到m的值為4±4或0，然后判斷∠AON是否為直角；若∠NAO為直角，則有△AMN∽△DMO∽△DON，由相似得比例，將各自的值代入得到關于m的方程，求出方程的解得到m的值為4，此時A與P重合，故∠NAO不能為直角，綜上，點A在對稱軸l右側的二次函數(shù)圖象上運動時，△ANO不能為直角三角形．
解答：解：（1）∵二次函數(shù)的頂點坐標為（4，-4），
∴設二次函數(shù)的解析式為y=a（x-4）²-4，
又二次函數(shù)過（0，0），
∴0=a（0-4）²-4，解得：a=，
∴二次函數(shù)解析式為y=（x-4）²-4=x²-2x；
（2）①證明：過A作AH⊥l于H，l與x軸交于點D，如圖所示：

設A（m，m²-2m），又O（0，0），
∴直線AO的解析式為y=x=（m-2）x，
則M（4，m-8），N（4，-m），H（4，m²-2m），
∴OD=4，ND=m，HA=m-4，NH=ND-HD=m²-m，
在Rt△OND中，tan∠ONM==，
在Rt△ANH中，tan∠ANM====，
∴tan∠ONM=tan∠ANM，
則∠ANM=∠ONM；
②△ANO能為直角三角形，理由如下：
分三種情況考慮：
（i）若∠ONA為直角，由①得：∠ANM=∠ONM=45°，
∴△AHN為等腰直角三角形，
∴HA=NH，即m-4=m²-m，
整理得：m²-8m+16=0，即（m-4）²=0，
解得：m=4，
此時點A與點P重合，故不存在A點使△ONA為直角三角形；
（ii）若∠AON為直角，根據(jù)勾股定理得：OA²+ON²=AN²，
∵OA²=m²+（m²-2m）²，ON²=4²+m²，AN²=（m-4）²+（m²-2m+m）²，
∴m²+（m²-2m）²+4²+m²=（m-4）²+（m²-2m+m）²，
整理得：m（m²-8m-16）=0，
解得：m=0或m=4+4或4-4（舍去），
當m=0時，A點與原點重合，故∠AON不能為直角，
當m=4+4，即A（4+4，4）時，N為第四象限點，成立，故∠AON能為直角；
（iii）若∠NAO為直角，可得∠NAM=∠ODM=90°，且∠AMN=∠DMO，
∴△AMN∽△DMO，
又∠MAN=∠ODN=90°，且∠ANM=∠OND，
∴△AMN∽△DON，
∴△AMN∽△DMO∽△DON，
∴=，即=，
整理得：（m-4）²=0，
解得：m=4，
此時A與P重合，故∠NAO不能為直角，
綜上，點A在對稱軸l右側的二次函數(shù)圖象上運動時，△ANO能為直角三角形，當m=4+4，即A（4+4，4）時，N為第四象限點，成立，故∠AON能為直角．
點評：此題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，兩點坐標確定一次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，本題（2）中的第②小問利用的是反證法，先假設結論成立，利用邏輯推理的方法得出與已知條件，定理，公理矛盾，可得出假設錯誤，原結論不成立．