Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）兩點，點C是拋物線與y軸的交點．

（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）當0＜x＜3時，求y的取值范圍；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△BCM是等腰三角形，若存在請直接寫出點M坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x﹣3，頂點坐標為（1，﹣4）．(2) ﹣4≤y＜0；(3)存在, 點M的坐標為(1， )或（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，-1）．

【解析】試題分析：

（1）把點A、B的坐標代入y=x2+bx+c中，列方程組解得b、c的值即可得到拋物線的解析式；把所得解析式配方化為“頂點式”可得頂點坐標；

（2）根據(jù)（1）中所得拋物線的頂點坐標和點B的坐標結(jié)合圖形可得本題答案；

（3）設(shè)點M的坐標為（1，m），由兩點間距離公式（或勾股定理），表達出：CB2、CM2、BM2，再分①CB2=CM2；②CB2=BM2；③CM2=BM2三種情況分別列出關(guān)于“m”的方程，解方程即可可得到答案.

試題解析：

（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分別代入y=x2+bx+c中，

得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線頂點坐標為（1，﹣4）．

（2）∵在y=x2﹣2x﹣3中，當時， ；當時， ；拋物線頂點坐標為（1，-4），

∴當0＜x＜3時， 的取值范圍為：﹣4≤y＜0；.

（3）存在.由（1）和（2）可知，拋物線的對稱軸為直線，點C的坐標為（0，-3），

∴可設(shè)點M的坐標為（1，m），由此可得：CB2=18；CM2= ；BM2=.

①當CB2=CM2時，有，解得： ；

②當CB2=BM2時，有，解得： ；

③當CM2=BM2時，有，解得： ；

綜上所述，存在點M使△BCM是等腰三角形，M的坐標為： 、、、、.