Question

如圖所示，矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上，AH為BC邊上的高，AH交DG于點P，已知AH=3，BC=5；
（1）設(shè)DG的長為x，矩形DEFG面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域；
（2）根據(jù)（1）中所得y關(guān)于x的函數(shù)圖象，求當(dāng)矩形DEFG面積最大時，DG的長為多少？矩形DEFG面積是多少？

Answer 1

分析：（1）易證得△ADG∽△ABC，那么它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)高的比相等，可據(jù)此求出AP的表達(dá)式，進(jìn)而可求出PH即DE、GF的長，已知矩形的長和寬，即可根據(jù)矩形的面積公式得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）題所得函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍，即可求出矩形的最大面積及對應(yīng)的DG的長．

解答：解：（1）∵矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，
∴DG∥BC，（1分）
∴△ADG∽△ABC（2分）
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG
∴

AP

AH

=

DG

BC

，
∴

AP

3

=

x

5

，（2分）
∴AP=

3

5

x，DE=PH=3-

3

5

x（1分）
∴y=-

3

5

x2+3x（0＜x＜5）；（2分）

（2）y=-

3

5

x2+3x=-

3

5

(x-

5

2

)2+

15

4

；（1分）
根據(jù)函數(shù)圖象可知，拋物線y=-

3

5

x2+3x開口向下，拋物線的頂點坐標(biāo)是它的最高點，且x=

5

2

在函數(shù)的定義域內(nèi)；（1分）
所以當(dāng)DG的長為

5

2

時，矩形DEFG面積最大為

15

4

．（2分）

點評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，能夠根據(jù)相似三角形求出矩形的寬是解答此題的關(guān)鍵．