Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC邊上的中點，CE⊥AD于點E，BF∥AC交CE的延長線于點F，求證：AB垂直平分DF．

Answer 1

分析：先根據ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=CD，然后又D為BC中點，根據中點定義得到CD=BD，等量代換得到BF=BD，再根據角度之間的數量關系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質求證即可．

解答：證明：連接DF，
∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF．
∵CD=BD=

1

2

BC，∴BF=BD．
∴△BFD為等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線．
∴BA是FD邊上的高線，BA又是邊FD的中線，
即AB垂直平分DF．

點評：主要考查了三角形全等的判定和角平分線的定義以及線段的垂直平分線的性質等幾何知識．要注意的是：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．