如圖1,已知:點A(-1,1)繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后剛好落在反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上點B處.
(1)求反比函數(shù)的解析式;
(2)如圖2,直線OB與反比例函數(shù)圖象交于另一點C,在x軸上是否存在點D,使△DBC是等腰三角形?若不存在,請說明不存在的理由;如果存在,請求所有符合條件的點D的坐標(biāo);
(3)如圖3,直線y=-x+
2
與x軸、y軸分別交于點E、F,點P為反比例函數(shù)在第一象限圖象上一動點,PG⊥x軸于G,交線段EF于M,PH⊥y軸于H,交線段EF于N.當(dāng)點P運動時,∠MON的度數(shù)是否改變?如果改變,試說明理由;如果不變,請求其度數(shù).
分析:(1)由A點繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°與點B重合,根據(jù)A的坐標(biāo)得出B點的坐標(biāo),將B的坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值,即可確定出反比例解析式;
(2)在x軸上存在點D,使△DBC是等腰三角形,理由為:分兩種情況考慮,(i)以C為圓心,CB長為半徑畫弧于x軸交于兩點,分別為D1和D2的位置,如圖所示,過C作CM垂直于x軸于點M,由B的坐標(biāo)得到C的坐標(biāo),確定出CM與CD1的長,在直角三角形CMD1中,利用勾股定理求出MD1的長,由MD1+OM求出OD1的長,確定出D1的坐標(biāo),同理求出D2的坐標(biāo);(ii)以B為圓心,BC長為半徑畫弧于x軸交于兩點,分別為D3與D4的位置,過B作BN垂直于x軸于點N,在直角三角形BND3中,利用勾股定理求出ND3的長,由ND3-ON求出OD3的長,確定出D3的坐標(biāo),同理確定出D4的坐標(biāo),綜上,得到所有滿足題意的D的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點P運動時,∠MON的度數(shù)不變,為45°,理由為:由P在反比例函數(shù)圖象上,設(shè)P的坐標(biāo)為(a,
1
a
),進而確定出PG與OG的長,由一次函數(shù)的解析式求出E和F的坐標(biāo),確定出OE與OF的長,利用勾股定理求出EF的長,且得到三角形OEF為等腰直角三角形,可得出兩個角為45°,進而得到三角形MEG與三角形FHN都為等腰直角三角形,用OE-OG表示出GE,進而表示出ME,用EF-ME表示出FM,同理表示出NE,求出FM與NE的乘積,發(fā)現(xiàn)與OE與OF的乘積相等,將積的恒等式化為比例式,再由夾角相等,利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似得到三角形FOM與三角形EON相似,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出∠FMO=∠EON,而∠FMO為三角形MOE的外角,利用外角性質(zhì)得到兩個角相加,又∠EON等于兩個角相加,利用等式的性質(zhì)得到∠MON=∠MEO相等,由∠MEO為45° 可得出∠MON為45°.
解答:解:(1)由點A(-1,1)繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后剛好落在反比例函數(shù)的B點,
得到B(1,1),
將x=1,y=1代入y=
k
x
中得:k=1,
則反比例函數(shù)解析式為y=
1
x
;

(2)在x軸上存在點D,使△DBC是等腰三角形,理由為:
分兩種情況考慮:
當(dāng)C為等腰三角形的頂角頂點時,以C為圓心,CB長為半徑畫弧,與x軸交于D1,D2,如圖所示,

過C作CM⊥x軸于點M,
∵B(1,1),即ON=BN=1,且C(-1,-1),即CM=OM=1,
∴OB=OC=
2
,
∴BC=OB+OC=2
2
,即CD1=CD2=BC=2
2
,
在Rt△CMD1中,根據(jù)勾股定理得:CD12=CM2+MD12
∴(2
2
2=12+MD12,即MD1=
7

∴OD1=MD1+OM=
7
+1,又D1在x軸負半軸上,
∴D1(-
7
-1,0),
同理D2
7
-1,0);
當(dāng)B為等腰三角形的頂角頂點時,以B為圓心,BC長為半徑畫弧,與x軸交于D3,D4,如圖所示,
過點B作BN⊥x軸于點N,同理可得BD3=BD4=BC=2
2

在Rt△BND3中,根據(jù)勾股定理得:BD32=BN2+ND32,
∴(2
2
2=12+ND32,即ND3=
7

∴OD3=ND3-ON=
7
-1,又D1在x軸負半軸上,
∴D3(-
7
+1,0),
同理D4
7
+1,0),
綜上,所有符合條件的點D的坐標(biāo)為(-
7
-1,0)或(
7
-1,0)或(-
7
+1,0)或(
7
+1,0);

(3)當(dāng)點P運動時,∠MON的度數(shù)不變,為45°,理由為:
設(shè)P坐標(biāo)為(a,
1
a
),
∵OE=OF=
2
,
∴EF=2,∠OBA=∠OAB=45°,
∴ME=
2
GE=
2
2
-a),F(xiàn)N=
2
FH=
2
2
-
1
a
),
∴FM=EF-ME=
2
a,EN=EF-FN=
2
a
,
∴FM•EN=
2
a•
2
a
=2=OE•OF,
FM
OE
=
OF
EN
,
又∵∠OFM=∠NEO=45°,
∴△FMO∽△EON,
∴∠FMO=∠EON,
∴∠MEO+∠MOE=∠MON+∠MOE,
則∠MON=∠MEO=45°.
點評:此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),勾股定理,一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),以及利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,是一道綜合性較強的試題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

27、我們給出如下定義:若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱這個四邊形為勾股四邊形,這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.
(1)寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱正方形、長方形、直角梯形(任選兩個均可);
(2)如圖1,已知格點(小正方形的頂點)O(0,0),A(3,0),B(0,4),請你畫出以格點為頂點,OA,OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB;
(3)如圖2,將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△DBE,連接AD,DC,∠DCB=30度.求證:DC2+BC2=AC2,即四邊形ABCD是勾股四邊形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

23、我們給出如下定義:若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱這個四邊形為勾股四邊形,這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.
(1)除了正方形外,寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱:
矩形、直角梯形
;
(2)如圖1,已知格點(小正方形的頂點)O(0,0),A(3,0),B(0,4),請你畫出以格點為頂點,OA,OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB,并寫出點M的坐標(biāo);
(3)如圖2,以△ABC的邊AB,AC為邊,向三角形外作正方形ABDE及ACFG,連接CE,BG相交于O點,P是線段DE上任意一點.求證:四邊形OBPE是勾股四邊形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

25、我們給出如下定義:如圖2所示,若一個四邊形的兩組相鄰兩邊分別相等,則稱這個四邊形為箏形四邊形,把這兩條相等的鄰邊稱為這個四邊形的箏邊.
(1)寫出一個你所學(xué)過的特殊四邊形中是箏形四邊形的圖形的名稱
矩形

(2)如圖1,已知格點(小正方形的頂點)O(0,0),A(0,3),B(3,0),請你畫出以格點為頂點,OA,OB為邊的箏形四邊OAMB;
(3)如圖2,在箏形ABCD,AD=CD,AB=BC,若∠ADC=60°,∠ABC=30°,求證:2AB2=BD2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我們給出如下定義:若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱這個四邊形為勾股四邊形,這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.

(1)如圖甲,已知格點(小正方形的頂點)O(0,0)A(3,0),B(0,4),請你畫出以格點為頂點,OA、OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB;
(2)如圖乙,若C(1,2),那么在圖中所有格點中是否能找到一點D,使以CA、CB為勾股邊的四邊形ACBD是勾股四邊形.如果能找到,請寫出D點的坐標(biāo)(不需要證明);
(3)如圖丙,AC、BD是四邊形ABCD的兩條對角線,△ABD是等邊三角形,∠DCB=30°.求證:四邊形ABCD是勾股四邊形.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案