Question

（2012•邯鄲一模）如圖1，以邊長為8的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑做⊙O，交對角線AC于點E．
（1）線段AE=

4

2

．
（2）如圖2，以點A為端點作∠DAM=30°，交CD于點M，沿AM將四邊形ABCM剪掉，使Rt△ADM繞點A逆時針旋轉（如圖3），設旋轉角為α（0°＜α＜150°），旋轉過程中AD與⊙O交于點F，
①當α=30°時，請求出線段AF的長；
②當α=60°時，求出線段AF的長；判斷此時DM與⊙O的位置關系，并說明理由；
③當α=

90°

 時，DM與⊙O相切．

Answer 1

分析：（1）連接BE，則可得出△AEB是等腰直角三角形，再由AB=8，可得出AE的長．
（2）①連接OA、OF，可判斷出△OAF是等邊三角形，從而可求出AF的長；②此時可得DAM=30°，根據(jù)AD=8可求出AF的長，也可判斷DM與⊙O的位置關系；③根據(jù)AD等于⊙O的直徑，可得出當DM與⊙O相切時，點D在⊙O上，從而可得出α的度數(shù)．

解答：解：（1）
連接BE，
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠BAC=45°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
又∵AB=8，
∴AE=4

2

；
（2）①
連接OA、OF，
由題意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，
故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，
則∠OAF=60°，
又∵OA=OF，
∴△OAF是等邊三角形，
∵OA=4，
∴AF=OA=4；
②
連接B'F，此時∠NAD=60°，
∵AB'=8，∠DAM=30°，
∴AF=AB'cos∠DAM=8×

3

2

=4

3

；
此時DM與⊙O的位置關系是相離；
③
∵AD=8，直徑的長度相等，
∴當DM與⊙O相切時，點D在⊙O上，
故此時可得α=∠NAD=90°．

點評：此題屬于圓的綜合題，主要是仔細觀察每一次旋轉后的圖形，根據(jù)含30°角的直角三角形進行計算，另外在解答最后一問時，關鍵是判斷出點D的位置，有一定難度．