Question

如圖，已知Rt△ABC，D₁是斜邊AB的中點(diǎn)，過(guò)D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連接BE₁交CD₁于D₂；過(guò)D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，連接BE₂交CD₁于D₃；過(guò)D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點(diǎn)D₄，D₅，…，D_n，分別記△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…S_n．則S_n=    S_△ABC（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)．
解答：解：易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高，面積相等，以此類推；
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可知：D₁E₁=BC，CE₁=AC，S₁=S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂為其重心，
∴D₂E₁=BE₁，
∴D₂E₂=BC，CE₂=AC，S₂=S_△ABC，
∵D₂E₂：D₁E₁=2：3，D₁E₁：BC=1：2，
∴BC：D₂E₂=2D₁E₁：D₁E₁=3，
∴CD₃：CD₂=D₃E₃：D₂E₂=CE₃：CE₂=3：4，
∴D₃E₃=D₂E₂=×BC=BC，CE₃=CE₂=×AC=AC，S₃=S_△ABC…；
∴S_n=S_△ABC．
點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)得到第一個(gè)三角形的面積與原三角形的面積的規(guī)律．也考查了重心的性質(zhì)即三角形三邊中線的交點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍．