Question

如圖，一次函數(shù)y=mx+3+4m（m＜0）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)E，AD⊥y軸于點(diǎn)D，將射線AB沿直線AD翻折，交y軸于點(diǎn)C．
（1）用含m的代數(shù)式分別表示點(diǎn)B，點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若△ABC中AC邊上的高為5，求m的值；
（3）若點(diǎn)P為線段AC中點(diǎn)，是否存在m的值，使△APD與△ABD相似？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出B、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由直線y=mx+3+4m經(jīng)過定點(diǎn)A可得出定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由AD⊥y軸可知D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可CD=ED，故可得出CE的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊時(shí)，S_△ABC=S_△ACE+S_△BCE=•CE•（AD+OB）可得出三角形的面積；當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)左邊時(shí)，S_△ABC=S_△ACE-S_△BCE可得出三角形的面積；再根據(jù)AC邊上的高為5可得出AC的長(zhǎng)，在Rt△ACD中根據(jù)勾股定理可求出m的值．
（3）①當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊時(shí)，只有△APD∽△ADB一種情形．因?yàn)锳P=PD，所以AD=DB，再由OD的長(zhǎng)可知OB的長(zhǎng)，故可得出m的值；
②當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)左邊時(shí)，若△APD∽△ABD時(shí)，AB=DB；若△APD∽△ADB時(shí)，根據(jù)AD=DB可得出m的值．
解答：解：（1）∵當(dāng)y=0時(shí)，mx+3+4m=0，
∴x=-，
∴B（-，0）．
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3+4m，
∴E（0，3+4m）；

（2）∵由直線y=mx+3+4m經(jīng)過定點(diǎn)A，
∴定點(diǎn)A（-4，3）．
又∵AD⊥y軸，
∴D（0，3）．
由翻折可知：CD=ED=3-（4m+3）=-4m，
∴CE=2CD=-8m．
當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊時(shí)，
S_△ABC=S_△ACE+S_△BCE=•CE•（AD+OB）
=×（-8m）×[4+（-）]=×（-8m）×（-）=12．
當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)左邊時(shí)，
S_△ABC=S_△ACE-S_△BCE=×（-8m）×[4-]=×（-8m）×（-）=12．
∴S_△ABC=12是不變化的．
∵AC邊上的高為5，
∴AC×5=12，
∴AC=．
∵AD=4，∠ADC=90°，CD=-4m，
∴（-4m）²+4²=（）²，解得 m=±，
又∵m＜0，
∴m=-；

（3）存在m的值，使△APD與△ABD相似．
①當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊時(shí)，只有△APD∽△ADB一種情形．
∵AP=PD，
∴AD=DB=4．
∵OD=3，∴OB=，
∴-=，解得 m=．
②當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)左邊時(shí)，
若△APD∽△ABD時(shí)，AB=DB，∴-=-2，解得 m=-．
若△APD∽△ADB時(shí)，AD=DB=4，
∵OD=3，
∴OB=，
∴-=-，解得m=-．
∴存在m的值，使△APD與△ABD相似，m的值為或-或-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形反折變換的性質(zhì)、三角形的面積公式等相關(guān)知識(shí)，難度較大．