Question

（2013•安徽）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點(diǎn)，在以下判斷中，不正確的是（　　）

A．當(dāng)弦PB最長時(shí)，△APC是等腰三角形

B．當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，PO⊥AC

C．當(dāng)PO⊥AC時(shí)，∠ACP=30°

D．當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，△BPC是直角三角形

Answer 1

分析：根據(jù)直角是圓中最長的弦，可知當(dāng)弦PB最長時(shí)，PB為⊙O的直徑，由圓周角定理得出∠BAP=90°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及圓周角定理得出AP=CP，則△APC是等腰三角形，判斷A正確；
當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，分三種情況：①PA=PC；②AP=AC；③CP=CA；確定點(diǎn)P的位置后，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出PO⊥AC，判斷B正確；
當(dāng)PO⊥AC時(shí)，由垂徑定理得出PO是AC的垂直平分線，點(diǎn)P或者在圖1中的位置，或者與點(diǎn)B重合．如果點(diǎn)P在圖1中的位置，∠ACP=30°；如果點(diǎn)P在B點(diǎn)的位置，∠ACP=60°；判斷C錯(cuò)誤；
當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，點(diǎn)P或者在P₁的位置，或者在P₂的位置．如果點(diǎn)P在P₁的位置，易求∠BCP₁=90°，△BP₁C是直角三角形；如果點(diǎn)P在P₂的位置，易求∠CBP₂=90°，△BP₂C是直角三角形；判斷D正確．

解答：解：A、如圖1，當(dāng)弦PB最長時(shí)，PB為⊙O的直徑，則∠BAP=90°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC=CA，
∵點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點(diǎn)，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP=∠CBP=

1

2

∠ABC=30°，
∴AP=CP，
∴△APC是等腰三角形，
故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，分三種情況：
①如果PA=PC，那么點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，則點(diǎn)P或者在圖1中的位置，或者與點(diǎn)B重合（如圖2），所以PO⊥AC，正確；
②如果AP=AC，那么點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，所以PO⊥AC，正確；
③如果CP=CA，那么點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，所以PO⊥AC，正確；
故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、當(dāng)PO⊥AC時(shí)，PO平分AC，則PO是AC的垂直平分線，點(diǎn)P或者在圖1中的位置，或者與點(diǎn)B重合．
如果點(diǎn)P在圖1中的位置，∠ACP=30°；
如果點(diǎn)P在B點(diǎn)的位置，∠ACP=60°；
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
D、當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，點(diǎn)P或者在P₁的位置，或者在P₂的位置，如圖3．
如果點(diǎn)P在P₁的位置，∠BCP₁=∠BCA+∠ACP₁=60°+30°=90°，△BP₁C是直角三角形；
如果點(diǎn)P在P₂的位置，∵∠ACP₂=30°，
∴∠ABP₂=∠ACP₂=30°，
∴∠CBP₂=∠ABC+∠ABP₂=60°+30°=90°，△BP₂C是直角三角形；
故本選項(xiàng)正確，不符合題意．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，垂徑定理，難度適中，利用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．