Question

（2011•臨川區(qū)模擬）在每格寬度為12mm的橫格紙中，恰好一四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)都在橫格線上；設(shè)AB邊與直線l的夾角為a．

（1）如圖甲所示，四邊形ABCD為矩形，若α=36°，求矩形ABCD的長(zhǎng)和寬．（精確到1mm）
（2）①如圖乙所示，若四邊形ABCD為正方形，求tanα的值．
②寫出圖乙中兩個(gè)有關(guān)P，Q的不同類型結(jié)論．（不另添加字母，不必證明）（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80tan36°≈0.75）

Answer 1

分析：（1）作BE⊥l于點(diǎn)E，DF⊥l于點(diǎn)F，在RT△ABE及RT△AFD中分別利用三角形函數(shù)的知識(shí)即可得出矩形ABCD的長(zhǎng)和寬．
（2）①作BG⊥l于點(diǎn)G，DH⊥l于點(diǎn)H，從而可證明出△AGB≌△DHA，得出AG=DH，再由tanα=

BG

AG

即可得出答案．
②根據(jù)題意寫結(jié)論即可，例如可寫：P、Q分別是BC、AD的中點(diǎn)，四邊形BPDQ是平行四邊形．

解答：解：（1）作BE⊥l于點(diǎn)E，DF⊥l于點(diǎn)F，

由題意可知，BE=24mm，DF=48mm，
∵α+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠ADF=36°，
在RT△ABE中，AB=

BE

sin36°

=

24

0.60

=40mm，
在RT△ADF中，AD=

DF

cos36°

=

48

0.80

=60mm，
∴AB=40mm，AD=60mm．

（2）①分別過(guò)點(diǎn)B、D作BG⊥l于點(diǎn)G，BH⊥l于點(diǎn)H，
∵∠BGA=∠AHD=90°，∠GAB=∠HDA=α，AB=AD，
∴△BGA≌△AHD（AAS），
∴BG=AH，AG=DH，
∴tanα=

BG

AG

=

BG

DH

=

1

2

．
②可寫：P、Q分別是BC、AD的中點(diǎn)；四邊形BPDQ是平行四邊形；RT△ABP≌RT△CDQ．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，利用三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行解題，難度一般．