Question

明珠大劇場(chǎng)座落在聊城東昌湖西岸，其上部為能夠旋轉(zhuǎn)的拱形鋼結(jié)構(gòu)，并且具有開(kāi)啟、閉合功能，全國(guó)獨(dú)-無(wú)二，如圖1．舞臺(tái)頂部橫剖面拱形可近似看作拋物線的一部分，其中舞臺(tái)高度1.15米，臺(tái)口高度13.5米，臺(tái)口寬度29米，如圖2．以ED所在直線為x軸，過(guò)拱頂A點(diǎn)且垂直于ED的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求拱形拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）舞臺(tái)大幕懸掛在長(zhǎng)度為20米的橫梁MN上，其下沿恰與舞臺(tái)面接觸，求大幕的高度？（精確到0.01米）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線在坐標(biāo)系的特殊位置，對(duì)稱(chēng)軸是y軸時(shí)可設(shè)拋物線的關(guān)系式為y=ax²+c，由已知數(shù)據(jù)可確定頂點(diǎn)A坐標(biāo)及點(diǎn)C坐標(biāo)，可求拋物線解析式．
（2）已知MN的長(zhǎng)度，就知道M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求縱坐標(biāo)，即為大幕的高度．
解答：解：（1）由題設(shè)可知，
OA=13.5+1.15=14.65米，OD=米．
∴A（0，14.65），C（，1.15）．
設(shè)拱形拋物線的關(guān)系式為y=ax²+c，
則，
解得
a=-，c=14.65．
所以，所求函數(shù)的關(guān)系式為
y=-x²+14.65．

（2）由MN=20米，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（10，y），代入關(guān)系式，
得y=-×10²+14.65≈8.229．
∴y-1.15=8.229-1.15=7.079≈7.08．
即大幕的高度約為7.08米．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．