Question

如圖，邊長為5的正方形OABC的頂點O在坐標原點處，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點E是OA邊上的點（不與點A重合），EF⊥CE，且與正方形外角平分線AG交于點P．
（1）當點E坐標為（3，0）時，試證明CE=EP；
（2）如果將上述條件“點E坐標為（3，0）”改為“點E坐標為（t，0）（t＞0），結論CE=EP是否成立，請說明理由；
（3）在y軸上是否存在點M，使得四邊形BMEP是平行四邊形？若存在，用t表示點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）（2）可用同種方法證明：在OC上截取OG=OE，由正方形的性質可得CG=AE，∠EAP=∠CGE=135°，由同角的余角相等可得∠GCE=∠AEP，故有△GCE≌△AEP?CE=EP；
（3）過點B作BM∥EP交y軸于點M，由同角的余角相等可得∠4=∠6，又因為CE=OC，可得△BCM≌△COE?BM=CE，而CE=EP，則BM=EP，由一組對邊平行有相等證得四邊形BMEP是平行四邊形，OM=CO-CM=5-t，故可求得點M的坐標．
解答：解：（1）（2）方法一：
在OC上截取ON=OE，

則AE=CN，∠EAP=∠CNE=135°
∵CE⊥EP
∴∠CEO+∠PEA=90°
又∵∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠NCE=∠AEP
∴△NCE≌△AEP
∴CE=EP，即不論點E的坐標是多少，都存在CE=EP，（1）（2）得證；

方法二：（1）過點P作PH⊥x軸，垂足為H
∴∠2=∠1=90°
∵EF⊥CE
∴∠3=∠4
∴△COE∽△EHP
∴
由題意知：CO=5，OE=3，EH=EA+AH=2+HP
∴=即HP=3
∴EH=5
在Rt△COE和Rt△EHP中
∴CE=，EP=
故CE=EP

（2）CE=EP仍成立，理由如下：
同理△COE∽△EHP，
∴
由題意知：CO=5，OE=t，EH=5-t+HP
∴=，整理得（5-t）HP=t（5-t），
∵點E不與點A重合，A（5，0），
∴5-t≠0
∴HP=t，
∴AH=t，
∴EH=5
∴在Rt△COE和Rt△EHP中
CE=EP=
∴CE=EP

（3）y軸上存在點M，使得四邊形BMEP是平行四邊形．
理由如下：
過點B作BM∥EP交y軸于點M
∴∠5=∠CEP=90°
∴∠4+∠ECB=90°，∠6+∠ECB=90°，
∴∠6=∠4
在△BCM和△COE中

∴△BCM≌△COE（ASA）
∴BM=CE
而CE=EP
∴BM=EP
由于BM∥EP
∴四邊形BMEP是平行四邊形，
由△BCM≌△COE
可得CM=OE=t
∴OM=CO-CM=5-t
故點M的坐標為（0，5-t）．
點評：本題（1）（2）可用不同的方法證明，顯然方法一簡單，用了正方形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定，而方法二中要用到勾股定理，相似三角形的判定和性質，用變量表示線段的長，故復雜．（3）主要用到全等三角形的判定和性質及平行四邊形的判定．