Question

如圖Rt△ABO中，∠ABO=Rt∠，∠A=30°，OB=2，如果將Rt△ABO在坐標平面內，繞原點O按順時針方向旋轉到△OA₁B₁的位置．
（1）求點A、B₁的坐標；
（2）求經過A、O、B₁三點的拋物線解析式；
（3）拋物線對稱軸l上是否存在點P，使PO+PB₁的值最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形AOB中，∠A=30°，OB=2，根據∠A的正切值即可求出AB的長，也就得出了A點的坐標．
求B₁坐標，可過B₁作B₁C⊥OA₁于C，在直角三角形OB₁C中，根據OB₁即OB的長和∠B₁OA的度數(shù)即可求出B₁的坐標．
（2）已知了A、O、B₁的坐標，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）本題的關鍵是確定P點的位置，先找出B₁關于拋物線對稱軸對稱的點，設此點為B₂，連接B₂O，那么B₂O與拋物線對稱軸的交點即為P點．可先求出直線OB₂的解析式，然后聯(lián)立拋物線的對稱軸即可求出P點的坐標．

解答：解：
（1）∵Rt△ABO中，∠ABO=90°，∠A=30°，OB=2
∴OA=

OB

sin30°

=2

3

∴A（-2，2

3

）
過B₁作B₁C⊥OA₁于C，B₁C=OB•sin60°=

3

，OC=OB₁cos60°=1
∴B₁（1，

3

）

（2）設y=ax²+bx，把A（-2，2

3

），B₁（1，

3

）代入得

4a-2b=2 3 a+b= 3

解得：

a= 2 3 3 b= 3 3

∴拋物線的解析式為y=

2 3

3

x²+

3

3

x．

（3）函數(shù)y=

2 3

3

x²+

3

3

x的對稱軸是x=-

1

4

，
則B₁關于對稱軸是x=-

1

4

對稱的點是B₂（-

3

2

，

3

），
設直線B₂O的解析式是y=kx，將B₂（-

3

2

，

3

）代入得
k=-

2 3

3

，
∴直線B₂O的解析式是y=-

2 3

3

x
當x=-

1

4

時，y=

3

6

，
∴存在P（-

1

4

，

3

6

）使PO+PB₁的值最小．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉變換等知識點，（3）中正確找出P點的位置是解題的關鍵．