Question

試求出兩兩互質(zhì)的不同的三個(gè)自然數(shù)x，y，z，使得其中任意兩個(gè)的和能被第三個(gè)數(shù)整除．

Answer 1

分析：根據(jù)題中有三個(gè)未知數(shù)，我們?cè)O(shè)法得到一些方程，然后從中解出這些未知數(shù)．

解答：解：不妨設(shè)x＜y＜z，于是

y+z

x

，

z+x

y

，

x+y

z

都是自然數(shù)．
先考慮最小的一個(gè)：
1≤

x+y

z

＜

z+z

z

=2，
∴

x+y

z

=1，即z=x+y．
再考慮

z+x

y

，
∵y|（z+x），即y|（y+2x），∴y|2x，
于是1≤

2x

y

＜

2y

y

=2，
∴

2x

y

=1，即y=2x，從而這三個(gè)數(shù)為x，2x，3x，
∵這三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)，
∴x=1．
所求的三個(gè)數(shù)為1，2，3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)的整除，是一道競(jìng)賽題，但難度不大．