Question

附加題
（1）試用一元二次方程的求根公式，探索方程ax+bx+c=0（a≠0）的兩根互為倒數(shù)的條件是

 

；
（2）如圖．邊長為2的兩個(gè)正方形互相重合，按住其中一個(gè)不動，將另一個(gè)繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是

 

；
（3）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t（秒）．
①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；
②當(dāng)t為何值時(shí)，以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的梯形面積等于60cm²？
③是否存在點(diǎn)P，使△PQD是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）兩根互為倒數(shù)，兩根之積為1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出條件；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，兩個(gè)正方形重疊部分的面積為三角形ABE面積的2倍，根據(jù)三角形面積公式求出重疊面積；
（3）①若四邊形PQDC是平行四邊形，則要DQ=CP，然后求出t，
②若點(diǎn)P，Q在BC，AD上時(shí)，根據(jù)梯形面積公式求出t，若點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，求出另一種情況的t；
③當(dāng)PQ=PD時(shí)作PH⊥AD于H，則HQ=HD，求得t，當(dāng)PQ=QD時(shí)QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t，QD=16-t，根據(jù)數(shù)量關(guān)系求出t，當(dāng)QD=PD時(shí)DH=AD-AH=AD-BP=16-2t，再求出滿足題意的t．

解答：解：
（1）若方程兩根互為倒數(shù)則兩根之積為1，故a=c；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積為三角形ABE面積的2倍，
由題意可知，BE=2

2

-2，AB=2，根據(jù)三角形面積公式可得三角形ABE的面積為2

2

-2，
故兩個(gè)正方形重疊部分的面積為4

2

-4．

（3）①∵四邊形PQDC是平行四邊形，
∴DQ=CP，
∵DQ=AD-AQ=16-t，CP=21-2t，
∴16-t=21-2t，
解得t=5，
當(dāng)t=5秒時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形，
②若點(diǎn)P，Q在BC，AD上時(shí)，

DQ+CP

2

•AB=60即

16-t+21-2t

2

×12=60，
解得t=9（秒），
若點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，則CP=2t-21，
∴

2t-21+16-t

2

×12=60
解得t=15（秒），
∴當(dāng)t=9或15秒時(shí)，以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的梯形面積等60cm²；
③當(dāng)PQ=PD時(shí)，
作PH⊥AD于H，則HQ=HD，
∵QH=HD=

1

2

QD=

1

2

（16-t），
由AH=BP得2t=

1

2

(16-t)+t，
解得t=

16

3

秒，
當(dāng)PQ=QD時(shí)QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t，QD=16-t，
∵QD²=PQ²=12²+t²，
∴（16-t）²=12²+t²解得t=

7

2

（秒），
當(dāng)QD=PD時(shí)DH=AD-AH=AD-BP=16-2t，
∵QD²=PD²=PH²+HD²=12²+（16-2t）²，
∴（16-t）²=12²+（16-2t）²，
即3t²-32t+144=0，
∵△＜0，
∴方程無實(shí)根，
綜上可知，當(dāng)t=

16

3

秒或t=

7

2

（秒）時(shí)，△PQD是等腰三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查的知識點(diǎn)有一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．