Question

（2009•贛州二模）如圖，將一張矩形紙ABCD按圖示折疊：

（1）求證：四邊形EFGB是平行四邊形；
（2）若BC=11cm，AB=4cm，要使四邊形EFGB為菱形，則剪去的△ABE的邊AE應(yīng)為多長(zhǎng)？

Answer 1

【答案】分析：（1）由一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等可得到剪去后得到的四邊形是等腰梯形．再次折疊后得到新四邊形的另一組對(duì)邊也平行，即可得證；
（2）綜合利用勾股定理和鄰邊相等求解．
解答：（1）證明：由折疊知：△ABE≌△DCF，
∴BE=CF．
∵EF∥BC，且EF＜BC，
∴四邊形BEFC為等腰梯形．
∴∠EBC=∠FCH．
∵∠FCH=∠FGC，
∴∠EBC=∠FGC．
∴EB∥FG．
又∵EF∥BG，
∴四邊形EFGB是平行四邊形．（4分）

（2）解：設(shè)AE=x，則DF=CH=GH=x，
∵四邊形EFGB為菱形，
∴BE=EF=11-2x．
在Rt△ABE中，有4²+x²=（11-2x）²
化簡(jiǎn)得：3x²-44X+105=0．
解之得：x₁=3，x₂=＞11（舍去），
∴剪去的△ABE的邊AE的長(zhǎng)應(yīng)為3cm．（9分）
點(diǎn)評(píng)：本題用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
需注意折疊過(guò)程中得到的特殊四邊形和特殊三角形的運(yùn)用．