Question

在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為2的正三角形OAB的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)．現(xiàn)將正三角形OAB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線(xiàn)y=

3

x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線(xiàn)y=

3

x于點(diǎn)M，點(diǎn)B在x軸投影為N（如圖）．求：
（1）初始狀態(tài)時(shí)直線(xiàn)AB的解析式；
（2）OA邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；
（3）△OMN從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到到停止?fàn)顟B(tài)前后面積比．

Answer 1

分析：（1）由邊長(zhǎng)為2的正三角形OAB的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，即可求得ON的長(zhǎng)，則可求得A與B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求得初始狀態(tài)時(shí)直線(xiàn)AB的解析式；
（2）由OA邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的扇形的角為30°，半徑為2，則可利用扇形面積的求解方法求得OA邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；
（3）由在初始狀態(tài)下，由OB平分∠MON，易得△MON為正三角形，則可求得△MON的面積，又由停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，△MON≌△AOB，即可求得此時(shí)△MON的面積，繼而求得△OMN從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到到停止?fàn)顟B(tài)前后面積比．

解答：解：（1）∵△OAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
∴OB=OA=2，∠AOB=60°，
∴∠BON=30°，
∴ON=OB•cos30°=2×

3

2

=

3

，
∴A（0，2），B（

3

，1），
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=k₁x+b₁．
則

b1=2 3 k1+b1=1

，
解得：

k1=- 3 3 b1=2

，
故直線(xiàn)AB的解析式y(tǒng)=-

3

3

x+2；

（2）∵直線(xiàn)y=

3

x與x軸的夾角為：60°，
∴∠AOM=30°，
∴OA邊掃過(guò)面積S=

30°

360°

×π×2²=

1

3

π；

（3）在初始狀態(tài)下，∵∠AOM=∠BOM=30°，
∴OB平分∠MON，
∴OM=ON，
∴△MON為正三角形，
∴S_△MOM=

1

2

OM、ON•sin60°=

1

2

×

3

×

3

2

=

3 3

4

．
停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，
在△MON和△AOB中，
∵

OM=OA ∠MON=∠AOB OB=ON

，
∴△MON≌△AOB（SAS），
∴S_△MON=

3

4

×22=

3

，
則前后面積比為：

3 3 4

3

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及扇形的面積公式．此題難度較大，綜合性較強(qiáng)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．