Question

如圖，直線y=kx-2與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，OB：OC=

1

2

．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)和k的值．
（2）若點(diǎn)A（x，y）是第一象限內(nèi)的直線y=kx-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①試寫(xiě)出△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；
②探索：當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積是1；
③在②成立的情況下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△POA是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的所有P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得直線y=kx-2與y軸的交點(diǎn)，則OC的長(zhǎng)度即可求解，進(jìn)而求得B的坐標(biāo)，把B的坐標(biāo)代入解析式即可求得k的值；
（2）①、②根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
③分O，P，A分別是等腰三角形的頂角頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論，利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）在y=kx-2中，令x=0，則y=-2，故C的坐標(biāo)是（0，-2），OC=2，
∵OB：OC=

1

2

，
∴OB=1，則B（1，0），
把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=kx-2，得
k-2=0，
解得：k=2；
綜上所述，B的坐標(biāo)是（1，0），k=2；

（2）①OB=1，
則S=

1

2

•OB•y_A=

1

2

×1×（2x-2）=x-1，即S=x-1

②根據(jù)題意得：

1

2

•OB•y_A=1，即

1

2

×1×（2x-2）=1，
解得，x=2，則A的坐標(biāo)是（2，2）；

③存在這樣的點(diǎn)P．理由如下：
由②知，A的坐標(biāo)是（2，2），則OA=

22+22

=2

2

．
i）如圖1，當(dāng)O是△AOP的頂角頂點(diǎn)時(shí)（OA=OP），P的坐標(biāo)是（-2

2

，0）或（2

2

，0）；
ii）當(dāng)A是△AOP的頂角頂點(diǎn)時(shí)（AO=AP），P與過(guò)A的與x軸垂直的直線對(duì)稱(chēng)，則P的坐標(biāo)是（4，0）；
iii）當(dāng)P是△AOP的頂角頂點(diǎn)時(shí)（PA=PO），設(shè)P（x，0），則
x=

(x-2)2+22

，
解得，x=2，
則P（2，0）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（-2

2

，0）或（2

2

，0）或（4，0）或（4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與等腰三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．