(2013•資陽(yáng))如圖,已知直線l分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn),與雙曲線y=
ax
(a≠0,x>0)分別交于D、E兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,1),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,4):
①分別求出直線l與雙曲線的解析式;
②若將直線l向下平移m(m>0)個(gè)單位,當(dāng)m為何值時(shí),直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)?
(2)假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)D為線段AB的n等分點(diǎn),請(qǐng)直接寫出b的值.
分析:(1)①運(yùn)用待定系數(shù)法可分別得到直線l與雙曲線的解析式;
②直線l向下平移m(m>0)個(gè)單位得到y(tǒng)=-x=5-m,根據(jù)題意得方程組
y=
4
x
y=-x+5-m
只有一組解時(shí),化為關(guān)于x的方程得x2+(m-5)x+4=0,則△=(m-5)2-4×4=0,解得m1=1,m2=9,當(dāng)m=9時(shí),公共點(diǎn)不在第一象限,所以m=1;
(2)作DF⊥x軸,由DF∥OB得到△ADF∽△ABO,根據(jù)相似比可得到AF=
a
n
,DF=
b
n
,則D點(diǎn)坐標(biāo)為(a-
a
n
,
b
n
),然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可得到b的值.
解答:解:(1)①把D(4,1)代入y=
a
x
得a=1×4=4,
所以反比例函數(shù)解析式為y=
4
x
(x>0);
設(shè)直線l的解析式為y=kx+t,
把D(4,1),E(1,4)代入得
4k+t=1
k+t=4
,
解得
k=-1
t=5

所以直線l的解析式為y=-x+5;
②直線l向下平移m(m>0)個(gè)單位得到y(tǒng)=-x+5-m,
當(dāng)方程組
y=
4
x
y=-x+5-m
只有一組解時(shí),直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn),
化為關(guān)于x的方程得x2+(m-5)x+4=0,
△=(m-5)2-4×4=0,解得m1=1,m2=9,
而m=9時(shí),解得x=-2,故舍去,
所以當(dāng)m=1時(shí),直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn);

(2)作DF⊥x軸,如圖,
∵點(diǎn)D為線段AB的n等分點(diǎn),
∴DA:AB=1:n,
∵DF∥OB,
∴△ADF∽△ABO,
AF
AO
=
DF
BO
=
AD
AB
,即
AF
a
=
DF
b
=
1
n

∴AF=
a
n
,DF=
b
n
,
∴OF=a-
a
n
,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(a-
a
n
,
b
n
),
把D(a-
a
n
,
b
n
)代入y=
a
x
得(a-
a
n
)•
b
n
=a,
解得b=
n2
n-1
點(diǎn)評(píng):本題考查了反比例函數(shù)的綜合題:掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;熟練運(yùn)用相似比進(jìn)行幾何計(jì)算.
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1+
3
1+
3

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