Question

已知關(guān)于x的一元二次方程ax²+2bx+c=0（a＞0）①．
（1）若方程①有一個(gè)正實(shí)根c，且2ac+b＜0．求b的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，方程①與關(guān)于x的方程4x²+4bx+c=0②有一個(gè)相同的非零實(shí)根，求

8b2-c

8b2+c

的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)c是一元二次方程ax²+2bx+c=0的實(shí)數(shù)根，把c代入此方程可得到關(guān)于a、b、c的方程，根據(jù)c＞0可得到ac+2b+1=0，再由不等式的基本性質(zhì)即可求出b的取值范圍；
（2）把a(bǔ)=1代入方程4x²+4bx+c=0中，設(shè)方程①與方程②的相同實(shí)根為m，把m分別代入兩方程得到關(guān)于m的方程組，求出m的值，把此值代入一個(gè)方程便可得到b、c的關(guān)系式，代入

8b2-c

8b2+c

即可求出其答案．

解答：解：（1）∵c為方程的一個(gè)正實(shí)根（c＞0），
∴ac²+2bc+c=0．
∵c＞0，
∴ac+2b+1=0，即ac=-2b-1．
∵2ac+b＜0，
∴2（-2b-1）+b＜0．
解得b＞-

2

3

．
又∵ac＞0（由a＞0，c＞0）．
∴-2b-1＞0．
解得b＜-

1

2

．
∴-

2

3

＜b＜-

1

2

；

（2）當(dāng)a=1時(shí)，此時(shí)方程①為x²+2bx+c=0．
設(shè)方程①與方程②的相同實(shí)根為m，
∴m²+2bm+c=0③
∴4m²+4bm+c=0④
④-③得3m²+2bm=0．
整理，得m（3m+2b）=0．
∵m≠0，
∴3m+2b=0．
解得m=-

2b

3

．
把m=-

2b

3

代入方程③得(-

2

3

b)2+2b(-

2

3

b)+c=0．
∴-

8b2

9

+c=0，即8b²=9c．
當(dāng)8b²=9c時(shí)，

8b2-c

8b2+c

=

4

5

．
故答案為：-

2

3

＜b＜-

1

2

，

4

5

．

點(diǎn)評：本題考查的是一元二次方程的解及根的判別式，解答此題的關(guān)鍵是熟知根的判別式與方程的根之間的關(guān)系．