Question

在平面直角坐標系中，已知函數(shù)和函數(shù)，不論取何值，都取與二者之中的較小值.

（1）求關于的函數(shù)關系式；

（2）現(xiàn)有二次函數(shù)，若函數(shù)和都隨著的增大而減小，求自變量的取值范圍；

（3）在（2）的結論下，若函數(shù)和的圖象有且只有一個公共點，求的取值范圍.

Answer 1

解：（1）       ……………………………………….……..2分

（說明：兩個自變量取值范圍都含有等號或其中一個含等號均不扣分，都沒等號扣1分）

 

（2）對函數(shù)，當隨的增大而減小，

，         ………………………………………..…….3分

又函數(shù)的對稱軸為直線，            …………………………….……..4分

且，

當時，隨的增大而減小，            ………………………….……..5分

                  …………………………………….…………….…..6分

（3）

①若函數(shù)與只有一個交點，且交點在范圍內.

     則，

       ，

        ，

      得           …………………………….…………….…7分

      此時，符合，  ………….…………..….…8分

    

②若函數(shù)與有兩個交點，其中一個在范圍內，另一個交點在范圍外.則， 即，   ………….…9分

方法一：對，當時；當時.

又當時，隨的增大而減小，      ……….………10分

  若與在內有一個交點，

則當時；當時，

即當時；當時.

也即   解得，        ……….……..…11分

由，得             …………………………..…12分

綜上所述，的取值范圍是：或.

方法二：由函數(shù)與的一個交點在范圍內，另一個交點在范圍外，可得：  或

解第一個不等式組，可得 即無解；         …….………10分

解第二個不等式組，可得 即，      ….………11分

由，得.