Question

已知，平面直角坐標(biāo)系上有A（a，0）、B（0，-b）、C（b，0）三點(diǎn)，且a≥b＞0，拋物線y=（x-2）（x-m）-（n-2）（n-m）． （m，n為常數(shù)，且m+2≥2n＞0），經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P
（1）當(dāng)m，n滿足什么關(guān)系時(shí)，S_△AOB最大；
（3）如圖，當(dāng)△ACP為直角三角形時(shí)，判斷以下命題是否正確：“直角三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)都在這條拋物線上，且DF∥x軸，那么△ACP與△DEF斜邊上的高相等”，如果正確請予以證明，不正確請舉出反例．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=（x-2）（x-m）-（n-2）（n-m），將其變形得：y=（x-n）（x+n-m-2），又由m+2≥2n＞0與拋物線經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C，則可求得a與b的值；可得S_△AOB=

1

2

ab=

1

2

（m+2-n）n，則可得當(dāng)m+2=2n時(shí)，S_△AOB最大；
（2）由當(dāng)△ACP是直角三角形時(shí)，AP⊥CP，且|AC|等于P點(diǎn)到x軸距離的2倍與拋物線y=（x-n）（x+n-m-2），可得頂點(diǎn)必然在x軸下方，則可得[（m+2）-2n][（m+2）-（2n+2）]=0，可得A、C不會(huì)是同一點(diǎn)，即可得m=2n，代回原方程求得點(diǎn)A（n+2，0），點(diǎn)C（n，0），點(diǎn)P（n+1，-1），然后假設(shè)命題成立，由DE∥x軸，令D、E的縱坐標(biāo)均為y=b，則可求的兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：D（n+1-

b+1

，b），E（n+1+

b+1

，b），設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（x₀，y₀），即可求得y₀的值，求得F到斜邊DE的距離為b-（b-1）=1，這與P到斜邊AC距離一樣，即可證得原命題是正確的．

解答：解：（1）∵y=（x-2）（x-m）-（n-2）（n-m）=（x-n）（x+n-m-2），
又∵m+2≥2n，即m+2-n≥n，
∴點(diǎn)（m+2-n，0）在點(diǎn)（n，0）右邊．
又拋物線過A點(diǎn)和C點(diǎn)，
∴a=m+2-n，b=n，
∵S_△AOB=

1

2

ab=

1

2

（m+2-n）n≤

1

2

[

1

2

（m+2-n）+n]²=

1

8

（m+2）²，
當(dāng)且僅當(dāng)m+2-n=n時(shí)取“=”，此時(shí)m+2=2n，
當(dāng)m+2=2n時(shí)，S_△AOB最大；

（2）命題正確．
理由：∵當(dāng)△ACP是直角三角形時(shí)，AP⊥CP，且|AC|等于P點(diǎn)到x軸距離的2倍．
又∵拋物線y=（x-n）（x+n-m-2）=[x-

1

2

（m+2）]²-

1

4

（m+2）²+n（m+2-n），
∴頂點(diǎn)必然在x軸下方，
∴由 2[

1

4

（m+2）²-n（m+2-n）]=（m+2-n）-n，
化簡得：[（m+2）-2n][（m+2）-（2n+2）]=0，
顯然A、C不會(huì)是同一點(diǎn)，
∴m+2-n＞n，即（m+2）-2n＞0，
∴（m+2）-（2n+2）=0，
得：m=2n，
代回原方程有y=（x-n）（x-n-2），
∴點(diǎn)A（n+2，0），點(diǎn)C（n，0），點(diǎn)P（n+1，-1）．
假設(shè)命題成立，
∵DE∥x軸，
∴點(diǎn)F為Rt△DEF的直角．
令D、E的縱坐標(biāo)均為y=b，則可求的兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：D（n+1-

b+1

，b），E（n+1+

b+1

，b）．
設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∵DF⊥EF，
∴有

y0-b

x0-(n+1- b+1 )

•

y0-b

x0-(n+1+ b+1 )

=-1，
化簡得（x₀-n-1）²+（y₀-b）²=b+1，
又（x₀，y₀）滿足y₀=（x₀-n）（x₀-n-2）=[（x₀-n-1）+1][（x₀-n-1）-1]=（x₀-n-1）²-1，
聯(lián)立兩式消去x₀化簡得：y₀²+（1-2b）y₀+（b²-b）=0，
求得y₀=b或b-1，舍去y₀=b，故y₀=b-1，
∴F到斜邊DE的距離為b-（b-1）=1，這與P到斜邊AC距離一樣．
綜合上述：命題是正確的．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，配方法解一元二次方程，直角三角形的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．